假设法在数学中的应用例举

■蔡青

假设法在数学中的应用例举

■蔡青

在小学数学中，有些类型的题目呈现出一个共同的特点：题目中要求两个未知量，这两个量有各自的数量标准，通过两个不同的数量关系相关联，有点像初中的二元一次方程解决的问题，但又不完全是。而作为小学生，解决此类问题往往用算术方法，着实有一定难度。然而，如果我们能够辩证地看待这些问题，使用假设法巧妙地分析其数量关系，往往能使问题得到很好的解决。这种假设法解题的核心思想是：将两种标准不同的数量按其中一种数量的标准假设，通过分析在这种假设之下数量关系的变化，从而找到数量之间的对应关系，求出各个数量。

例1．鹅羊三十六，共计一百足，鹅羊各多少只？

分析：这是一道典型的鸡兔同笼问题，一只鹅2条腿，一只羊4条腿，若将36只全部按鹅的标准假设，即全部按2条腿算，则由2×36=72条腿，比实际少100-72=28条腿，而这正是每只羊少算2条腿的总和，因此羊的只数为：28÷（4-2）=14（只），鹅的只数为：36-14=22（只）。解答如下：

羊的只数：（100-2×36）÷（4-2）=14（只）

鹅的只数：（4×36-100）÷（4-2） =22（只）

例2．两个杯中分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水的浓度为30%；若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原有40%的食盐水多少克？

分析：此题解法为先求出浓度为30%的食盐水重量，再求出浓度为40%的食盐水重量。

解法：（1）浓度为30%的食盐水重量：

300×（30%-20%）÷（30%-25%）-300=300（克）

（2）浓度为40%的食盐水重量：

300×（30%-10%）÷（40%-10%）=200（克）

例3．100个和尚吃100个包子，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。问：大和尚、小和尚各多少人？

分析：此题将小和尚吃的包子数按大和尚的标准假设，则包子总数必然超过100个，超出的个数恰恰是所有小和尚多计算的包子数的总和，即可求出小和尚人数，同理，反之可求出大和尚人数。

解法（1）：小和尚人数：（100× 3-100）÷（3-）=75（人）

大和尚人数：100-75=25（人）

小和尚人数：100-25=75（人）

例4．一根长绳的长度是一根短绳的3倍，各剪去20米后，长绳剩下的长度是短绳剩下的长度的4倍。长绳原来有多长？

分析：利用方程解此题是比较简单的，但有的学生不一定会解方程，而算术解法也不好解，因为此题中长绳与短绳这两个量都变了，他们的和也变了，只有它们的差没变，但却难以建立标准量与对应量之间的对应关系，但使用假设法却会使此题变得很容易。我们不妨假设短绳剪去20米后的长度为a米，则短绳长度为（a+20）米，假如原来长绳的长度是长绳长度的4倍，那么长绳的长度就有4（a+20）=4a+4×20，长绳原来的长度是4a+20，如果是4倍，还差3×20，而3×20恰恰是短绳的1倍，于是，原来短绳长度为60米，原来长绳长度为60×3=180（米）。

线段图分析：

解：20×（4-1）×3=180（米）

答：原来长绳长180米。

总之，假设法在小学数学中有着广泛的应用，绝不仅仅限于以上几种题。有人说过这样一句话——“思想有多远，我们就能走多远。”在数学王国这片天地里，数学问题的解决，往往是由人的思维方式来决定的，不同的思维方式决定了不同的解题思路。假设法恰恰是打破常规思维方式的一种有效的解题思维，在不经意间往往会收到意想不到的效果。

（作者单位：武汉市新洲区汪集街冯铺小学）

责任编辑 廖林