基于三维各向异性扩散的图像平滑及三维重构效果分析

蒋先刚，许伦伦，赵 莹

(华东交通大学1.信息工程学院;2.基础科学学院，江西南昌330013)

三维重构技术是由物体的一组二维切片重构出该物体的三维形体的过程。由于切片在采集的过程中不可避免地要受到噪声的影响，所以在三维重构之前对切片集进行平滑等预理就显得非常必要。各向异性扩散做为一种图像预处理技术，不仅能有效的去除噪声，还能保护边缘信息，所以得到了广泛的应用。但现有的各向异性扩散技术都是在二维平面进行的，这样处理后的三维重构物体在水平方向往往具有良好的平滑效果，而在垂直方向的平滑效果则较差，器官组织在垂直方向的断离现象比较明显，因此需将通常的该方法拓展到三维空间去进行分析[1，2]。

本文验证和实现了三维各向异性扩散的平滑方法，进而获得了比较满意的三维重构效果。程序运行环境为Windows Vista操作系统、Delphi 7软件开发平台，主机为1.73GHz，内存为2.0G，重构方法采用Marching Cubes和基于三维纹理的直接体绘制，重构的切片维数为256×256×136。

1 各向异性扩散模型机理

在图像的平滑处理过程中，保持图像特征与去除噪声往往存在着矛盾。基于偏微分方程的图像平滑技术，特别是Perona和Malik[2]在1990年提出的各向异性扩散方程，能较好地解决这一问题。各向异性扩散方程是从物理学中的扩散现象引申过来的，利用热传导系数来调控空间各点的扩散量，使扩散主要发生在图像非边缘区域，如此，随着扩散的进行，低对比度的区域变得越来越平滑而高对比度的区域(如边缘)则得到保持，从而实现了在平滑噪声的同时能够保留甚至增强图像的边缘特征。

各向异性扩散的方程如下[3]:

对于一幅灰度图像而言，在梯度值较小的内部区域，灰度值变化比较缓慢，▽u较小，扩散系数c(|▽u|)较大，扩散强度较强;在梯度值较大的边界处，▽u较小，使得扩散较少。经过多次迭代后，图像内部区域非常光滑，而边缘仍然得到保持，不会产生模糊效果。

2 二维空间图像各向异性扩散平滑算法设计

考虑上下左右4个方向的梯度的二维扩散算法步骤如下[3-5]。

第一步:计算第n次迭代时，上下左右四个点的梯度，由于是二维各向异性扩散，所以只考虑单幅图像，这里假设目标点是第z张切片ViewPicture[z]上的点fn(x，y)，其中，点fn(x，y)的梯度计算公式为

第二步:计算第n次迭代时，上下左右四个点的扩散系数，其中，点fn(x，y)的扩散系数为

第三步:计算第n次迭代扩散后，目标点fn+1(x，y)的灰度值。

其中:Δt是迭代步长，un(x，y)是第n步迭代时，点fn(x，y)的灰度值。

第四步:判断是否迭代完毕，如果是则退出;否则继续转向第一步。

随着迭代次数的增加，各向异性扩散在同质区域内的平滑效果将更好。考虑到运算效率问题并结合实际经验，这里迭代次数取25，k取0.08，Δt取0.16。

3 三维空间图像各向异性扩散平滑算法设计

考虑上下左右前后六个方向的梯度的三维扩散算法步骤如下。

第一步:计算第n次迭代时上下左右前后六个点的梯度。设目标点为第z张切片ViewPicture[z]上的点记为fn(x，y，z)，由于是三维各向异性扩散，所以要同时考虑第z-1张切片ViewPicture[z-1]上的点fn(x，y，z-1)和第z+1张切片ViewPicture[z+1]上的点。

第二步:计算第n次迭代时，上下左右前后六个点的扩散系数，其中，点fn(x，y，z)的扩散系数为

第三步:计算第n次迭代后，目标点fn+1(x，y，z)的灰度值。

第四步:判断n是否大于约定的最大迭代次数，如果是则退出;否则继续转向第一步进行扩散。

4 实验与分析

本文的实验素材的是人体脑部的一组图片，分别采用三维中值滤波、二维各向异性扩散、三维各向异性扩散对切片集进行了平滑处理，并用Marching Cubes和基于三维纹理的直接体绘制方法对经多种预处理方法处理后的切片进行重构效果比较。

图1 原切片

图2 经三维中值滤波处理后的切片

图3 经二维各向异性扩散处理后的切片

图4 经三维各向异性扩散处理后的切片

图5 未经预处理的三维重构图(MC)

图6 经三维中值滤波处理后的三维重构图(MC)

图7 经二维各向异性扩散处理后的三维重构图(MC)

图8 经三维各向异性扩散处理后的三维重构图(MC)

图9 经三维中值滤波处理后的三维重构图(DV)

图10 经三维各向异性扩散处理后的三维重构图(DV)

上图中MC表示Marching Cubes重构算法，DV表示直接体绘制重构算法。通过实验的图5到图10可以看出，二维各向异性扩散、三维各向异性扩散以及三维中值滤波都有较好的平滑图像、去除噪声的功能，但从图7和图8的对比看出，三维各向异性扩散由于考虑了像素的空间各向的相关性，平滑效果更好，空间各方向的连续性更强，比二维各向异性扩散的重构(图7)在Z向的连续性更好;从图8、图10中可以看出，三维各向异性扩散具有较强的保持图像局部特征的特性，中值滤波虽然是一种应用比较广泛且容易实现的降噪方法，但它的低通滤波特性使它对图像频谱中的高频部分不加区别的一律消减，从图6、图9中可以看出，中值滤波处理后的重构出现较明显的特征模糊现象，严重降低了物体间的层次性，很多包含重要信息的像素都丢失了。

表1 各种预处理方法及重构效率对照表

由表1可以看出，三维各向异性扩散的算法由于采用的是迭代算法，所以与三维中值滤波算法相比而言运算效率要低些，但是它对图像的各向平滑处理效果较好，而且具有保持甚至加强图像特征的特点，这就是其自身的价值所在。而三维中值滤波虽然预处理效率要高些，但它使图像局部特征丢失严重，重构效果差强人意。

5 结束语

综上分析，在进行三维重构时应考虑体素在空间Z向的拓扑性和几何特性，这样重构出的形体才具有更好的空间各向的层次性和连贯性。二维各向异性扩散技术推广到三维空间后使重构出的物体平滑效果更佳并且更好地保持了边界特征，体现出了比二维各向异性扩散更好的分割效果。各向异性扩散在不同方向上虽然采用不同的扩散系数，但由于扩散强度系数cn(x，y)=1/(1+k◦|▽un(x，y)|2)恒不为0，这就是说局部特性仍会受到周围像素的影响，进而被加以平滑处理，随着迭代次数的增加，边缘被模糊的现象将更为明显，为了更好地解决边缘问题，可以考虑用设定阈值的方法，对于阈值范围内的像素不做平滑处理，也即令其扩散系数为0，这样才能更好地保护其边缘。

[1] 章毓晋.图像工程:上册[M].北京:清华大学出版社，2006:101.

[2] PERONA P，MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].Transactions on Pattern Analysis andMachine Intelligence，IEEE，1990，12(7):629-639.

[3] 袁泽剑，郑南宁，张元林，等.一种非线性扩散滤波器的设计方法及其应用[J].计算机学报，2002，25(10):1 072-1 076.

[4] 张元林，等.一种改进的图像自适应非线性滤波方法[J].西安交通大学学报，2004，38(2):162-166.

[5] 姜东焕，等.基于非线性小波阈值的各向异性扩散方程[J].电子学报，2006，34(1):169-172.