基于小波变换的时间序列奇异性问题探析

李炳林 ,向书坚

（1.湖南科技学院 经管系,湖南 永州 420010；2.中南财经政法大学a.信息学院；b.研究生部，武汉 430060）

0 引言

经济现象的运行规律一般具有趋势性与周期性，对其规律性的研究主要是通过对经济现象的时间序列数据进行观察，寻找其运行过程中的变异点，即对应时间序列的奇异点（拐点）。笔者认为经济现象时间序列的有关数据可以抽象为信号（函数），而经济现象变化的奇异点（拐点），则可抽象为信号（函数）的奇异点的检测。通过检测时间序列（信号）的奇异性和位置（时间），来研究经济现象运行的周期性及变化趋势。传统的奇异性检测方法是基于Fourier变换,它只能反映信号奇异性的整体性质,很难确定各奇异点的位置及各奇异点奇异性的强弱。而小波变换具有良好的时频局部化特性,能更好地分析信号的奇异点的位置及奇异性的强弱。奇异点的位置可以通过跟踪小波变换在小尺度下的模极大曲线来检验；信号奇异点奇异性的强弱可以由小波变换模随尺度参数的衰减性和Lipschitz指数来刻画。因此，我们利用二进小波变换模极大值和Lipschitz指数来探测时间序列奇异点的位置与奇异点的强弱。

1 小波及小波变换

定义 1 对∀Ψ（t）∈L2(R)，设 Ψ（t）的 Fourier变换为Ψ满足容许条件：

则称 Ψ（t）是一个基本小波或小波母函数。 由 CΨ＜+∞ 知，反之，若 Ψ（t）满足|ψ(t)|≤c(1+|t|)-1-ε(ε＞0)，且其中 c 是一个常数，则式（1）成立。 说明小波函数不仅要求具有一定的震荡性，即包含着某种频率特征，而且还要求具有一定的局部性，即在一个区间上恒等于0或很快地收敛于0，这也就是Ψ（t）称为小波的原因。

定义 2 对于小波函数 Ψ（t），函数 f(t)∈L2(R),f(t)的小波变换定义为：

其中 a≠0，b、t均为连续变量，ψ*(t)表示 Ψ（t）的复共轭。小波变换定义为信号和小波函数ψa,b(t)的内积，表示了信号与小波基函数的相似程度。

2 序列（信号）的奇异性

2.1 Lipschitz指数的概念

定义 3 设 f(t)∈L2(R)，如果存在常数 Kv＞0及 m[α]次多项式pv使得：

称函数 f(t)在点 v 是 Lipschitzα(α≥0)。

定义4 如果在[a，b]上存在与 v无关的常数K＞0，使得（3）式对所有的 v∈[a,b]成立，则称 f(t)在[a，b]上是一致 Lips⁃chitzα。

由上述定义，我们有以下结论：如果函数f(t)在v点的Lipschitz指数α小于1，那么称函数f(t)在v点是奇异的。若函数 f(t)的Lipschitz指数 α'满足 n＜α'＜n+1，则 f(t)在 v 点是 n次可微的，但其n次导数f(n)(t)在v点是奇异的，它的Lipschitz指数为α'-n，也称α'描述了这个奇异性。如果f(t)的原函数F(t)在 v 点的 Lipschitz指数为 α+1(-1≤α＜0)，则称 f(t)在点 v是Lipschitzα。负的Lipschitz指数意味着函数具有比不连续（α=0）更大的奇异性。特别地有，若函数f(t)在v点连续可微，则函数 f(t)在v点的Lipschitz指数为1；若函数 f(t)在 v点可微，而导数有界但不连续，f(t)在v点的Lipschitz指数为1；若函数f(t)在v点不连续但有界，则f(t)在v点的Lipschitz指数为0。

因此，Lipschitz指数α刻画了f(t)在v点的光滑程度，α值越大，函数越光滑，奇异性越小；反之，α值越小，表明函数在该点处变化越尖锐，奇异性越大。

2.2 小波变换模极大值

Mallat等通过分析小波变换模的局部极大值与函数奇异性的关系发现，小波变换模|Wf(s,u)|的衰减性可以由其局部极大值控制，可以利用小波变换模|Wf(s,u)|（其中s为尺度）在v的邻域中的衰减性来刻画函数f(t)在点v的局部Lipschitz正则性。

定理 1[1]设 f(t)∈L2(R)在区间 [a，b]上是一致Lipschitzα≤n,则存在 A＞0，使得：

反之，设f(t)是有界且对某个非整数有α＜n，使得|Wf(s,u)，则对∀ε＞0，f(t)在[a-ε,a+ε]上是一致 Lipschitzα。

定理1说明，对v0领域内的任意点v，若在尺度s上满足|Wf(s,v)|≤|Wf(s,v0)|，则称(s,v0)为一模极大值点，|Wf(s,v0)|称为在点(s,v0)点的小波变换模极大值。若在二维平面（s，v）上某一曲线上的点均为模极大值，则称此曲线为极大值线。

定理 2 设 f(t)∈L2(R)在 v0处是 Lipschitzα≤n，则存在A＞0，使得反之，若 α＜n，使得为非整数，且存在 A＞0 和 α'＜α 使得则 f(t)在 v0是 Lipschitzα。

上述定理说明了f(t)在v0的局部Lipschitz正则性依赖于在v0的领域中Wf(s,v)在细尺度下的衰减性。由（4）得：|Wf(s,因此当信号的奇异指数α＞0时，其小波变换模随尺度s的增加而增大；当奇异指数α＜0时，小波变换模随尺度s的增加而减少。

2.3 序列（信号）奇异点的判定

定理3 （HWANG，MALLAT）设n是一个严格的正整数，θ(t)是一个平滑函数，ψ(t)是一个紧支撑的n次连续可微的小波函数，且 ψ=(-1)nθ(n)，对于 f(t)∈L1(a,b)，如果存在 s0＞0，使得对任意的 s＜s0和 u∈[a,b]，|Wf(s,u)|没有局部极大值，则对∀ε＞0，f(t)在[a-ε,a+ε]上是一致 Lipschitz n 的。

定理3说明了如果小波变换Wf(s,u)在细尺度下没有极大值，那么f(t)一定是局部正则的。它缊含了如下事实：仅当存在一个小波极大点序列 (sp,up)p∈N在细尺度下收敛于v，即则 f(t)在 v 点是奇异（非 Lipschitz 1）的。另外，仅沿着尺度搜寻小波模极大值点对于奇异性检测还是不充分的，还需要从模极大值的衰减性计算函数在一点的Lipschitz正则性。

定理 4 对于 s＜s0，设函数 f(t)定义在区间（a,b）上，如果收敛于v的所有模极大点都包含在锥|u-v|≤Cs中，则对小于n的非负整数α，函数f(t)在v点为Lipschitzα，当且仅当存在常数 A＞0，使得|u-v|≤Cs中的模极大点满足即

定理 4说明了f(t)在点 v的 Lipschitz α就是 log2|Wf(s,u)|作为log2s的函数沿着收敛于v的极大曲线的最大斜率减去1/2。这为我们提供了一种简便计算Lipschitz指数α的方法。

3 序列（信号）的奇异性检测

3.1 Lipschitz指数α的计算

（1）对时间序列做滤波处理

经济现象在运行过程中，受各种因素的干扰，这些干扰因素可归结为随机因素，即噪声，而噪声都服从或近似服从高斯分布。由于白噪声具有负的Lipschitz指数，且其幅度和稠密度随尺度增加而减少；若小波变换局部模极大值及稠密度随尺度的关注而快速增大，则说明该处的奇异性主要是由噪声控制。因此，为了减少噪声对分析的影响，必须进行滤波处理，消除噪声的干扰。

设时间序列f(t)在t0处有奇异性，我们用Gauss型函数做滤波器处理，即：h(t)=f(t)gσ(t)。

（2）对 h(t)作二进小波变换

为简单起见，假定函数θ(t)类似于 Gauss函数，θ(t)的形式为，则 gθ(t)仍为一Gauss函数，即：σ2j

因此,有奇异性的序列（信号）f(t)被均方差为σ的Gauss函数平滑后，在尺度为2j时的小波变换等价于没有平滑的奇异性函数在尺度为s0时的小波变换。于是这时,|W2jh(t)|≤

（3）建立目标函数，确定α的值

对aj使（9）式极小化就可确定σ、k和α的值。

3.2 由确定的α判断f(t)的奇异性，根据尺度2j确定奇异点的位置（时间）

4 结束语

时间序列（信号）的奇异性包含经济现象变化的最重要信息。小波变换能够使其信息集中在几个小波系数中，并且通过滤波消除噪声的干扰，这样就能准确找到序列的奇异点及其变化的时间，对于正确认识经济现象变化规律具有重要意义。因此，用二进小波变换模极大值与Lipschitz指数来探测序列的奇异性不失为一种有用的方法。虽然小波分析近乎完美的数学特性受到各领域科学家和工程技术人员的青睐，但现在还没有找到一种适用于每个领域或者不同领域的小波函数，在运用小波函数时，只能从已知的二十来种小波函数中去选择、筛选找到最适合的小波函数。在具体研究序列的奇异性时，还要考虑消失矩与阀值。另外，小波变换广泛运用于时间序列的相关性、长记忆性、非平稳性、区间估计、谱密度估计及分形等方面。我们相信，随着小波理论的完善，小波分析在经济领域的应用前景将会更加广阔。

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