一维非齐次边值问题的有限元法

赵月坤，高常

(枣庄职业学院 271000)

0 引言

有限元方法是在Ritz－Galerkin方法的基础上改进得到的．它改进了传统Ritz－Galerkin方法，将求解区域剖分成有限个单元，在每个单元上构造插值函数，再由此得到在整个区域上的插值函数．由于插值基函数是局部的，这不仅大大的减少了计算量，而且极易处理本质边值条件．(参见文献［1－5］)本文给出了有限元方法求解一类非齐次两点边值问题的有限元格式，讨论了齐次与非齐次问题有限元方法之间的关系．用数值算例比较了有限元法与传统Ritz－Galerkin方法计算结果．

1 非齐次两点边值问题的Ritz－Galerkin解法

非齐次两点边值问题的有限元方法，基本思路是首先将问题转化为齐次的情况，利用齐次两点边值问题的有限元方程推导非齐次问题有限元方程．

1．1 非齐次边值问题齐次化

考虑一类非齐次两点边值问题

其中p∈C1(I)(一次连续可微函数空间)

其中u0(x)满足例如取u0(x)= β(x－a)+α．将(2．3)代入(2．1)，

整理得

至此，我们将非齐次边值问题转化为齐次边值问题．

1．2 齐次两点边值问题的变分形式及Ritz－Ga lerkin方法

为了求解非其次边值问题，先来了解齐次两点边值问题的Ritz－Ga lerkin方法(参阅［2］) ．

考虑齐次两点边值问题

根据虚功原理，若u∈C2(I)，则u是边值问题(2．6)，(2．7)的解的充要条件是:u且满足变分问题 a(u，v) － (f，v)=0，对任意

设Vn是的n维子空间，φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x) 是 Vn的一组基函数，则Vn中任一元素可表示为方法离散格式为:求系数c1，c2，…，cn，使得un关于 v∈Vn满足a(u，v) － (f，v)=0．对任意即

称(2．9)为Ritz－Galerk in方程组．方程组(2．9)的系数矩阵

是对称正定的，故(2．9)是唯一可解的．

1．3 非齐次两点边值问题的Ritz－Galerk in方程

即非齐次两点边值问题(2．1)、(2．2)的Ritz－Galerk in方程组为

2 有限元法

有限元法在很大程度上克服了Ritz－Ga lerkin法选取基函数的固有困难，应用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧．

2．1 齐次两点边值问题的有限元方程

对区间 I= ［a，b］进行剖分．设x0，x1，…，xn满足a=x0＜ x1＜ … ＜ xn=b，称xi为节点，ei= ［xi－1，xi］为单元，hi=xi－ xi－1为单元 ei的长度，记

取 m=1，设函数在节点上取值为 u0=0，u1，…，un．在单元 Ii，Ii+1考察线性插值:对节点xi构造山形函数φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x)，它们组成Uh的基．分段线性插值函数uh可表示为

Ritz－Ga lerkin方程组的系数矩阵(2．9)中的非零元素为

以及

2．2 非齐次边值问题的有限元法

考虑非齐次边值条件，增加基函数

令u= αφ0+w，仿照2．3中的做法，用代替(3．4) 中的 f，有

即非齐次两点边值问题(2．1)，(2．2)的有限元方程组为

4 算例

例1 用传统Ritz－Ga lerkin方法解非齐次两点边值问题

例2 用有限元方法解例1，即

图 4．1

用M a tlab编程计算得到精确解与数值解的对照，如图4．2．从图4．1和图4．2看出有限元解曲线比Ritz－Galerk in解曲线吻合性更好，而有限元法的计算更简便．

图 4．2

［1］赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］李荣华．偏微分方程数值解法［M］．北京:高等教育出版社，2005．