多普勒效应的最简规律

2011-01-24 02:46雷裕波
物理通报 2011年7期
关键词:波源原点多普勒

雷裕波

(昭平中学 广西 贺州 546800)

当波源与观测者之间存在相对运动时,观测者观测到的频率与波源发射波的频率不同,这种现象就是多普勒效应.引起多普勒效应的根本原因在于波源与观测者之间存在相对运动.在低速传播的机械波里所产生的多普勒效应比较容易掌握.然而当波源或观测者的运动速度较高时,必须要考虑时空变换的相对效应,此时的多普勒效应会遵循怎样的规律呢?本文就从洛伦兹时空变换的角度,阐述各种情形下的多普勒效应,并从中总结出多普勒效应所遵循的最简规律 .

1 纵向多普勒效应

设有三个惯性参照系,如图1所示.

图1

媒质(场)参照系,即静系,简称O系,相应的坐标系为xOy.

波源参照系,即动系,简称S系,以波源S所在处为坐标原点,建立坐标系x′O′y′.

观测者参照系,即动系,简称R系,以观测者R处为坐标原点,建立坐标系x″O″y″.

由图1可看出,O、S、R系的x轴重合,令t=0时刻,O、O′、O″三原点重合,S系以速度uS、R系以速度uR同时沿O系的x轴正方向运动,此时波源S在O处发射第1个波峰,至t时刻,S系运动到O系的x1处,波源恰好发射第2个波峰,且第1波峰以速度vφ(相对O系)运动到O系的x2处,在S系及R系上表示t时刻的这两个相邻波峰的相应坐标分别如下:

O系:(0,0) (x1,t) (x2,t)

S系:(0,0) (x1′,t1′) (x2′,t2′)

R系:(0,0) (x1″,t1″) (x2″,t2″)

由洛伦兹的时空变换得

对S系:

(2)

(4)

对于R系,有完全相似的关系式.

由(1)、(2)式得

由(3)、(4)两式得

由此可见,t2′与t1′在S系上看来并非同一时刻,即x2′-x1′不是在S系观测到的波长.由于t2′比t1′早|Δt′|时间,所以在S系观测到的波长应为

联立前面有关各式,解得

设TS为波源发射波的周期,则

(5)

同理,在R系中不难得到

(6)

(6)式中,TR为在R系上的观测者所观测到的周期.

若不考虑动系相对静系的时空收缩效应,则λ洛=λ0;此时多普勒效应属于伽利略变换下的效应.若设T0为波在静系里沿u方向传播的周期,则λ0=vφT0.据洛伦兹变换知,当静系里的时间间隔为T0时,在动系里测得的时间间隔便为

于是λ洛=vφT洛,显然在r0方向上亦有

此时T0、λ0则分别表示波在静系里沿r0方向上传播的周期和波长,且有可能发生变化.例如当波源运动时,沿u方向传播的波波长λ0最小,而沿与u相反方向传播的波波长λ0最大,在垂直于u方向上传播的波λ0取值在此两者之间,但通常情况下λ0不必求出.于是(5)、(6)式可写成统一式

(7)

由此可见上述(5)、(6)两式应视作(7)式的特殊情形;然而(7)式的正确性及普遍性还有待于后面进一步的论证.

由(5)、(6)式得

(8)

(8)式为纵向多普勒效应的频率公式.显然对于机械波,由于波速vφ及波源或观测者的运动速度都远小于光速,相对效应很不明显,所以有

(9)

(9)式就是机械波的纵向多普勒效应的频率关系式,据此式可知,当观察者运动的方向与传向观测者的波的传播方向相同时,uR>0,使观测到的频率fR降低,反之升高.当波源的运动方向与传向观测者的波的传播方向相同时,uS>0,使观测到的频率升高,反之降低.

对于光波而言,vφ=c,当uR或uS比较大时,相对效应较明显,此时由(8)式得

设u为观测者相对波源的相对运动速度,据洛伦兹速度变换关系有

于是上式变为

(10)

由(10)式知,当观测者远离波源运动时,u取正,使观测到的频率降低;当观测者靠近波源运动时,u取负,使观测到的频率升高.当u≪c时,即观测者相对波源做低速运动时,(10)式可化为

Δf为由多普勒效应所引起的频移量.

与前面的(7)式对比,此式应有类似的物理意义.

以上推导得出的(8)、(9)、(10)式,其正确性可从另外的角度加以证明(略),从而知(7)式适用于纵向多普勒效应.

2 横向多普勒效应

图2

如图2所示,观测者相对媒质静止,以观测者R处为原点O,建立静止的参照系R,以波源S处为原点O′,建立运动的参照系S,两系的x轴相互平行.在R系看来,t=0时刻,波源S位于R系的y=r1的P处,并以速度uS沿x轴正方向匀速运动,同时波源发射的波沿y轴负方向传向观测者R处.设波源的周期为TS,频率为fS,观测者观测到的周期为TR,频率为fR,如果前述(7)式依然适用,则对观测者即R系而言,因为uR= 0,所以

由λR伽=λR洛得

fR=f0

(11)

对波源即S系而言,因波沿y轴负方向传向观测者,故伽利略相对速度为vφ,所以有

由λS伽=λS洛得

(12)

由(11)、(12)两式得

(13)

(13)式为横向多普勒效应的频率关系式,其正确性可作如下证明:如图2所示,设相对R系波的圆频率为ωR,相对S系波的圆频率为ωS.在R系上看,经一微小时间Δt,波源沿x轴正方向由P处运动到Q处,在S系上看相应的时间为Δt′,波振动的位相差为Δφ′=ωSΔt′;而在R系上看,观测者接收到分别由P、Q两处传来的两次波振动,其位相差应为

式中r2为Q,O间的距离.当Δt很小时,α很小,则此式中

再利用ωS=2πfS及ωR=2πfR,便得

此式与(13)式相同,表明:

(1)上面的(7)式适用于横向多普勒效应;

(2)横向多普勒效应不如纵向多普勒效应明显, 因为当uR=0时,有

对机械波而言,uS≪c,故fR横≈fS,即横向多普勒效应很不明显,难于观测到.

3 斜向多普勒效应

下面讨论更为一般的多普勒效应——斜向多普勒效应.如图3所示,观测者R静止,以R处为原点O,建立坐标系xOy,简称R系.

图3

在y=r1的P处,有一以速度uS沿PH方向运动的波源S,PH与PR成θ角.以波源S处为原点O′,建立坐标系x′O′y′,简称S系,x′轴与PH重合,t=0时刻波源刚好在P处,假设(7)式仍然成立,但此时沿y轴负方向传给观测者的波在S系上的伽利略相对波速为(vφ-uScosθ),于是得

vφTR=λ0

由此得

(14)

(14)式的正确性,亦可仿照前述的方法加以验证.设在R系上,观测者观测到的圆频率为ωR;在S系上,波源发射波的圆频率为ωS,自t=0时刻开始,波源由R系的P处沿PH方向(即S系的x′轴正方向)以速度uS运动,经一微小时间Δt运动到Q处,则观测者接收到来自P、Q两处的波振动,其位相差为

因Δt很小,α角很小,所以有

而在S系上看,波源在P、Q两处发射的波振动位相差为Δφ′=ωSΔt′(Δt′为在S系上观测的时间),根据位相不变原理得Δφ=Δφ′,即

根据洛伦兹变换,有

并代入上式得

令ωR=2πfR,ωS=2πfS,于是得

此式与(14)式一致.

综上所述,知(7)式既适用于纵向也适用于横向多普勒效应.多普勒效应的这一最简规律可表述为:在任一惯性系里,伽利略变换下的相对波长等于洛伦兹变换下的收缩波长.

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