编制复合函数应慎重

●陆丽滨 (湖州市第二中学 浙江湖州 313000)

编制复合函数应慎重

●陆丽滨 (湖州市第二中学 浙江湖州 313000)

文献［1］提出了一个貌似推理与几何画板冲突的问题，文献［2］从导数的角度证明了理论的正确性．笔者发现:近年来众多参考资料对复合函数试题的编制存在不少问题．复合函数在高中阶段是一个不予详细定义的数学概念(选修2-2中粗略地介绍了复合函数的定义)．而现行浙江教育出版社出版的高一各种参考资料、作业本中，依旧有不少例题、习题，涉及到用复合函数的观点去分析和解决问题．笔者就最近看到的一些复合函数问题，通过分析发现，其中有很多与之相关的试题并不严密，本文就这些问题来一个“吹毛求疵”，以求此类命题能做得更加“完美”．

1 高中阶段较为合适的复合函数定义

在人教A版选修2-2中，对复合函数的定义为:

定义1一般地，对于2个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 y=f［g(x)］．

注以上定义是不够精细的，未指明内外函数中量的联系．因此用下列定义作为高中复合函数的定义更为精确，这样的定义为现在高中复合函数定义的一般共识，譬如文献［3］、文献［4］中提到的．它的特点是言简意赅、通俗易懂，符合高中数学的教学要求，还容易被学生接受．

定义2设外函数y=f(u)的定义域为Df，内函数 u=φ(x)的值域为 Zφ．若 Df∩Zφ≠φ，则称函数y=f［φ(x)］为x的复合函数(D表示定义域，Z均表示值域，如:Dfφ表示复合函数 y=f［φ(x)］的定义域)．

注不是任意2个函数都能进行复合．只有当Df∩Zφ≠φ时，2个函数才能进行复合运算．例如:y=f(u)=log3u，u=φ(x)= －2 －x2，可得 Df=(0，+∞)，Zφ=(－∞，－2］，Df∩Zφ=φ，因此 y=f［φ(x)］=log3(－2－x2)没有意义．

2 复合函数试题编制须慎重

评析在文献［2］中，选登1解答无误，但其认为此函数不是复合函数．因为y=是一个复合函数除以另一个复合函数所构成的函数，不能表示成函数y=f［φ(x)］的形式，因此不是复合函数．笔者认为是不正确的．无论是从人教版选修2-2的定义还是我们共识的定义2来说，此函数都是复合函数．令:u=φ(x)=2－x，y=f(u)=logu(3－u)，可知 Df={u|0＜u＜3，u≠1}，Zφ=R．显然，Df∩Zφ≠φ．由定义 2 得，f［φ(x)］=log(2－x)(x+1)是复合函数．

例2已知函数

(1)若函数f(2x)的定义域为［－1，1］，求函数f(x)的定义域;

(2)若函数 f(2x)的定义域为［1，2］，求函数f(log2x)的定义域．

评析(1)以下是参考资料上给出的“正解”:

由 －1≤x≤1，得

(2)本题来自文献［5］，文献［5］对此提出了质疑，文献［6］和文献［7］随后对质疑进行了否定．通过例2第(2)小题可知，从f(2x)→f(x)→f(log2x)的第一步就是有疑问的，因此原题的答案是不确定的，文献［5］的质疑是正确的．

3 总结

(1)从例1可知，在教学时需认清复合函数的概念．

(2)从例2、例3、例4可知，编制复合函数y=f［g(x)］，其定义域为 C={x|x∈Du，g(x)∈Df}．由此，若x∈C，则内函数值域 Zu={u|u=g(x)，x∈C}，显然，Zu⊆Df，若 Df⊆Zu，则有 Zu=Df．对于例3，如果加条件f(x)的定义域是函数y=的值域的子集，那么原解就正确了．

对于没有给出解析式的复合函数，已知其定义域，一般不能求出外函数的定义域．但是如果还满足:复合前，外函数的定义域是内函数值域的子集，那么求出的内函数值域就是外函数的定义域．对于复合前，内函数的值域是R的复合函数，由复合函数的定义域求出的内函数值域必定是外函数的定义域．诸如f(kx+b)之类的复合函数．读者不妨举例一试．

(3)笔者认为，涉及到复合函数求外函数定义域的问题，学生的认识水平很不乐观，缺乏对本质的深刻理解．出现这些状况的主要原因在于方法上的不足以及与复合函数知识在教材中的设计设置有关．

(4)在编制复合函数题时，可参考《高中数学新课程标准》第48页:能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数．不宜人为拔高或超纲．

［1］ 秦显明．几何画板与我们的推理起冲突［J］．数学通讯，2010(3):33．

［2］ 王兵权，梁东强，汤敬鹏，等．评析问题186［J］．数学通讯，2010(6):37-38．

［3］ 赵光耀．复合函数定义形式的讨论［J］．北京工业职业技术学院学报，2004(1):85-88．

［4］ 汤敬鹏，汤先键．关于求f(x)的争论综述［J］．数学教学研究，2001(9):33-36．

［5］ 张国治．一道不容忽视的错解［J］．中学生数学，2006(9):5．

［6］ 吴玉萍．“错解”其实没有错［J］．中学生数学，2007(5):4．

［7］ 田富德．一道例题解答之我见［J］．中学生数学，2007(5):3．