“分点线三角形面积定理”的另证

●颜美玲 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

“分点线三角形面积定理”的另证

●颜美玲 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

《数学通讯》2007年第23期刊登了题为《分点线三角形面积定理》一文［1］，其中介绍了分点线三角形的定义及面积的有关结论如下:

定义1三角形顶点及对边分点的连线称为三角形的分点线．

定义2由三角形的分点线围成的三角形称为分点线三角形．

文献［1］中添加了3条辅助线，利用面积之间的关系证明了上述定理．本文尝试用复数法证明并得到了更优美的结论．

图1

1 预备知识

1．1 三角形面积公式

如图1，△ABC 的边AB，BC，CA 上的分点分别为 D，E，F，AE 和CD，BF 和 AE，CD和BF分别交于点P，Q，R，则CD，BF，AE称为△ABC的分点线，△PQR称为△ABC的分点线三角形．

定理1设△ABC的面积为S，D，E，F分别是边AB，BC，CA的分点，AE和CD，BF 和AE，CD 和BF 分别交于点P，Q，R，且AD ∶DB=λ1，BE ∶EC=λ2，CF ∶FA=λ3，则分点三角形△PQR的面积为

1．2 定比分点公式

2 复数法证明定理

证明如图2，以B为原点，BC轴为实轴引进复平面，则

图2

注2定理1中3个分点分别在3条边上，如果3个分点在边的延长线上呢?根据复数法的证明不难发现该方法对分点在边延长线上也同样适用．故结论可统一为:

定理2设△ABC的面积为S，D，E，F分别是AB，BC，CA的分点(分点在边上或者在边的延长线上)，直线 AE 和 CD，BF 和 AE，CD 和 BF 分别交于点 P，Q，R，且 AD ∶DB=λ1，BE ∶EC=λ2，CF ∶FA=λ，则

［1］ 张荣远．分点线三角形面积定理［J］．数学通讯，2007(23):29-30．

［2］ 程其坚．怎样用复数解题［M］．上海:上海教育出版社，1964．