有关字母取值范围问题的归类解析

有关字母取值范围问题的归类解析

525136 广东省化州市文楼中学 李培华

含字母的取值范围问题是近年中考或各类大小数学竞赛的热点内容，也是许多同学解题的难点所在.怎样求解含字母取值范围问题呢?下面本文结合例题归纳五类常见含字母取值范围问题的求解方法，供同行参考.

1 代数式中含字母的取值范围问题

例1 如果2m，m，1－m这三个实数在数轴上所对应的点是按从左到右依次排列，那么m 的取值范围是

＿＿.

2 方程(组)中含字母的取值范围问题

解 将原方程去分母得2x+6a=3x－(x－6)整理得0·x=6－6a，

∵原方程无解，∴6－6a≠0解得a≠1，

故a的取值范围是a≠1.

解 原方程两边都乘以(x+2)(x－2)，

得2m= －x(x+2)+(x+2)(x－2)，

整理得2m=－2x－4解得x=－2－m，

得x≤－2，依题意得－2－m≤－2解得m≥0，

∵x=－2－m是原分式方程的根，

∴ －2－m≠2且－2－m≠－2即m≠－4且m≠0，

故m的取值范围是m＞0.

例7 已知关于x的方程4x2+4(m－1)x+m2=0有两个非零实数根x1和x2，若x1与x2同号，则m的取值范围是＿＿.

解 ∵方程有两个非零实数根

点评 求解方程(组)中含字母的取值范围问题的步骤是先把该字母看作已知量，并用该字母的代数式表示出原方程(组)的根，然后再结合题设有关条件进行求解.如例4先按一元一次方程的解法化成最简形式，再根据无解这一条件进行分析，从而求得结果;例5先用所要求字母的代数式表示原方程组的解，然后利用原方程组的解的非负性建立不等式组中求解;例6先把所要求的字母视为已知量，按照分式方程的解法求解原方程的根，再结合分式方程有解的条件(最简公分母不为0)，并把所求得的解代入题设不等式组去寻找所要求解的字母的取值范围，例7则用判别式确定所要求解字母的取值情况，再由根与系数关系式确定两根同号时所要求解字母的取值范围.

3 不等式(组)中含字母的取值范围问题

例8 如果不等式3x－m＜0的正整数解是1，2，3，

则m 的取值范围是＿＿.

由已知可得不等式组的解集为{x|2－3a＜x＜21}，其中只有4个整数解，

从而知这四个整数解只能是17，18，19，20.

点评 求解不等式(组)中含字母的取值范围问题的步骤是先把该字母看作已知数，并用含该字母的代数式表示出不等式组的解集，然后再结合题意建立新的不等式(组)进行求解.

4 函数关系式中含字母的取值范围问题

例11 若直线y=3x－1与y=x－k的交点P在第四象限，则k 的取值范围是＿＿.

点评 (1)对于函数自变量的取值范围问题一般应考虑下面三点:

①分式的分母不为0;

②二次根式中的被开方数为非负数;

③零指数幂或负指数幂的底数不等于0.

(2)对于函数交点坐标中含字母的取值范围问题，应利用坐标点P(x，y)的以下性质求解:若P(x，y)在第一象限，则有;若 P(x，y)在第二象限，则有若P(x，y)在第三象限，则有;若 P(x，y)在第四象限，则有

(3)对于锐角三角函数中锐角的取值范围问题，应结合题设三角函数值，联想特殊角的三角函数值，并根据此三角函数的增减性(sinα和tan α随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小)寻找此锐角的取值范围.

5 几何图形中含(动点)字母的取值范围问题

例13 已知两圆相交，其圆心距为6，大圆半径为8，则小圆半径r 的取值范围是＿＿.

解 ∵ 两圆相交，∴0＜8－r＜6，解得2＜r＜8，

故小圆半径r的取值范围是2＜r＜8，

例14 如图1所示，已知∠BAC=45°，一动点 O在射线AB上运动(点O与点 A不重合)设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，则x的取值范围是

图1

解 过点O作AC的垂线，垂足为F.若F在⊙O上即OF=1时，OA最大，由∠OAF=∠BAC=45°，∠OFA=90°得 OA =，

又∵点O与点A不重合，∴x＞0.

图2

解 连接BE，依题意知，∠BDE=90°，

∵△ABD是等边三角形，

∴△ABD的周长是6×3=18，当点C无限趋近于点B时，四边形ABCD的周长无限接近于△ABD的周长，但始终比△ABD的周长大，即p＞18;当点C与点E重合时，四边形ABCD的周长最大，由勾股定理得BE =6，从而有p =18+6，故 p的取值范围是18＜p≤18+6，即选 C.

点评 求解几何图形中含(动点)字母的取值范围问题的数学思想是极限思想，其求解关键在“以静观动”，即把动点放到极端位置上去考虑动点字母的取值范围.如例14和例15把动点置于两个极端位置去寻找字母的最大值和最小值，从而有效地求解(动点)字母的取值范围问题.

20110323)