反例在高等数学教学中的作用与应用

2011-02-24 07:25王德印
电大理工 2011年2期
关键词:反例盘锦命题

王德印

盘锦职业技术学院(盘锦 124010)

反例在高等数学教学中的作用与应用

王德印

盘锦职业技术学院(盘锦 124010)

实例讨论反例在高等数学教学中对学生思维训练的作用,案例说明该教学法的应用对提高教学效果的体会。

高等数学 反例 作用 应用

1 反例在高等数学教学中的作用

高等数学的反例是指符合某一个命题的条件,但又与该命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明,错误的命题则靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

关于二元函数的极限的概念,现在的描述性定义虽然比过去的“ε−σ”定义简单,但(x,y)→(x0,y0)是表示点(x,y)以任何方式接近于点(x0,y0),所以在讨论极限是否存在时,只要选择两条不同路径,而按这两条路径计算的极限值不同,既可说明极限不存在。

例 讨论二元函数

→(0,0)时是否存在极限?

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等数学中,学生对定理条件与结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界,拓宽思路,从而全面正确理解高等数学的基本定理。

拉格朗日定理是微积分的基本定理,关于它的学习,一般先介绍定理(若函数y=f(x)满足条件:①f(x)在[a,b]上连续;②f(x)在(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得成立),再结合图形给予证明。对给定的具体函数,要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件,并能求出满足定理中的ξ。

1.3 有助于错误命题的有效纠正

在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续,连续未必可导;二是如果f(x)在某某区间(a,b)内只有一个驻点x0,而且从实际问题本身又可以知道f(x)在该区间内必定有最大值或最小值,则f(x0)就是所要求的最大值或最小值。按照常规的思维模式,人们很自然把它们推广到二元函数。

2 反例在高等数学教学中的应用

在高等数学教学中加强反例思想的渗透,可以强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解,并可以激发学生学习数学的兴趣,进一步提高教学效果。

2.1 恰当构造反例,加深对概念的理解

理解概念是学生学好高等数学的基础,也是其能力培养的先决条件。通过反例,从反面消除一些容易出现的模糊认识,严格区分那些相近易混的的概念,把握概念的要素和本质。

在高等数学的极限概念教学中,恰当地构造反例,会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中,学生认为:①有界函数的极限一定存在;②如果存在,但不存在,那么不存在。上述两种想法都是错误的。对于①构造反例,因为当x→0时,f(x)不能无限接近于一个确定的常数A,因此,极限不存在;对于②构造反例因为不存在,但

2.2 正确应用反例,加深对定理的理解

定理教学中,反例和证明具有同等重要的地位,通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性,而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。

在高等数学的定理教学中,正确地应用反例,能够全面地理解定理的条件与结论,更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理(若函数y=f(x)满足条件:①f(x)在[a,b]上连续;②f(x)在(a,b)上可导;③f(a)=f(b)。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f′(ξ)=0成立)的教学,因为它只是拉格朗日的特例,一般是结合图形给予说明,不做重点讲解。但可以应用反例加深对定理的理解,说明罗尔定理的三个条件是使f′(ξ)=0成立的充分条件,而不是必要条件。

2.3 有效利用反例,纠正习题中的错误

学习高等数学需要解题,在解题中要鼓励学生从多方面进行思考,多角度进行探索,挖掘新思路;鼓励学生去联想发挥,改变条件,对习题进行拓宽。

有些失误难以通过正面途径检查出来,而举反例就能在较短的时间内,较直观地反映出错误所在,而且,由此往往能产生正确的途径。

“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘,差之千里”的特点,达到了教学中那种“打开眼界,拓宽思路”的效果。因此,在高等数学教学中,广大教师应重视和恰当地应用反例。

[1]同济大学应用数学系.高等数学.北京:高等教育出版社,2007.

[2]侯风波.应用数学. 沈阳:科学出版社,2007.

[3]马守春.微积分中反例的作用和构造.高等数学研究,2007(1).

[4]吴波.浅谈高等数学课中微分中值定理教学方法--反例教学法.思茅师范高等专科学校学报,2002(3).

齐婷婷)

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