具非线性源项和阻尼项的波动方程解的爆破

岳红云，刘宏超

(1.河南工业大学 理学院，河南 郑州 450001；2.郑州大学 数学系 河南 郑州 450001)

在本文中，考虑如下方程：

utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut|p-1ut=μ|u|q-1u,x∈Ω,t>0,

(1)

u(0,t)=0,u(1,t)=0,t≥0,

(2)

(3)

其中:δ>0,μ>0,p≥1,q>1为常数，σ(s)为给定的非线性函数，φ(x)和ψ(x)为给定的初值函数，Ω=(0,1)下标x和t分别为关于和的偏导数.方程(1)是一类非线性波动方程,它描述了由变率类型材料构成的黏弹性固定的运动[1-3].当δ=μ=0时,关于方程(1)整体解的存在性和其他一些性质已经有了许多结果,特别的,在文献[4]中,作者证明了方程(1)～(3)整体解的存在性和惟一性,但没有讨论解的爆破.在文献[5]中，当黏性阻尼项消失时，证明了方程(1)～(3)局部解的存在性和解的爆破.本文在黏性阻尼项存在时，在适当的假设条件下讨论了解的爆破，关于局部解的存在性可通过压缩映射原理或Galerkin方法得到.

2 解的爆破

定理1 假定以下条件成立：

(i)1≤p

其中：

则方程(1)～(3)的广义解u(x,t)或古典解u(x,t)在有限时刻爆破.

H(1-α)(t)+εF′(t)

(4)

其中：

ε>0,a>0为小参数，将在以后选取它们的大小.

在方程(1)两端同乘以ut,并在Ω上积分，可得：

由此推出：

(5)

即H(t)为增函数，故：

(6)

利用假定方程(2)可知：

由此可得：

(7)

由Hölder不等式[6]，假定方程(1)和式(6)可得：

(8)

选取α,使得：

(9)

假定H(0)>1,可以得到：

(10)

因此，有：

(11)

接下来，继续估计：

由假定方程(1)，式(6)及Poincaré不等式[7]，可得：

选取α,使得：

(12)

(13)

将式(11)，(13)代入式(7)，可得：

(14)

选取ε充分小，H(0)充分大，便得：

(15)

(16)

(17)

由式(6)及假定条件(2)可知：

(18)

将式(15)～(18)代入式(14)中，可得：

(19)

其中：C4为正常数，上式表明H1-α+εF′为增函数.

取F′(0)>0，则有：

0

下证不等式：

(20)

要证式(20)成立，分两种情形讨论：

(i)F′(t)≤0,则有：

因此，由式(6)及式(18)可知式(20)成立.

(ii)F′(t)>0,则由Hölder不等式及Young不等式，及不等式(a+b)n≤C6(an+bn),其中a,b>0,n>1,C6为正常数，得到：

再由式(19)可知式(20)成立，其中C8～C10均为正常数.

由式(20)推出：

注：上述定理的证明方法也可以用于研究以f(ut)和g(u)分别代替δ|ut|p-1ut和μ|u|q-1u的方程.

参考文献:

[1]Andrews G,Ball J M.Asymptotic behavior and changes in phase in one-dimensional nonlinear viscoelasticity[J].J Differential Equations,1982,44:306-341.

[2]Andrews G.On the existence of solutions to the equationutt=uxxt+σ(ux)x[J].J Differential Equation,1980,35:200-231.

[3]Kawashima S,Shibata Y.Global existence and exponential stability of small solutions to nonlinear viscoelasticity[J].Comm Math Phys,1992,148:189-208.

[4]Zhijian Yang,Guowang Chen.Global existence of solutions for quasi-linear wave equations with viscous dimping[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,285:604-628.

[5]Georgiev V,Todorova G.Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source terms[J].Journal of Differential Equations,1994,109:295-308.

[6]Robert A.Adams,Sobolev space[M].New York:(Second edition),Academic Press,2003.

[7]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社，1987.

[8]Ball J.Remarks on blow-up and nonexistence theorems for nonlinear evolution equation[J].Quart J Math Oxford(2),1977,28:473-486.