切基线条件下双交点曲线参数的计算方法

张 玥

(内蒙古科技大学 建筑与土木工程学院，内蒙古 包头 014010)

在线路定线和平面设计中，当平曲线交点过远、交点附近有障碍物(河流、建筑物或陡坡)，或为了改善同向断背曲线而设置单曲线或复曲线时，采用双交点曲线是常用的处理方式。对于双交点单曲线而言，如果基线对曲线线位的控制不是特别严格，则曲线半径和缓和曲线长度等基本参数的设置较为灵活，可根据双交点的转角和基线长度推算出虚交点的位置和转角，按常规基本型单曲线处理即可，计算较为方便、简单。本文主要讨论以基线控制曲线线位的情况，此时需要按切基线法反算平曲线的半径或缓和曲线长度等设计参数，常规的方法基于对称型曲线进行计算，本文将非对称型曲线的计算方法引入双交点曲线的计算中，为双交点曲线设计参数的拟定提供更多的选择方式。

1 非对称基本型曲线的曲线要素计算

非对称基本型曲线是单曲线的通用形式，对称型是其特例，计算方法在文献[1-2]中已有详细介绍，为便于应用，本文仍将其列出，曲线要素以函数形式表达，计算图式见图1。

缓和曲线终点坐标

缓和曲线终点处的回旋线角

内移值

图1 非对称基本型曲线计算图式

切线增值

夹角

圆曲线内移后对应的切线长

切线长

曲线长

2 对称型双交点曲线计算方法

双交点曲线的计算方法是基于对称型曲线的，文献[3-4]已有介绍，本文在此基础上作了进一步整理。

2.1 双交点单曲线

双交点单曲线以对称型曲线为基本模型，按切基线控制曲线参数时，其约束条件是

其中，AB为基线长度，交点位置确定后，其值是固定的、已知的。

基于对称型曲线计算时，其两端缓和曲线长度是一致的。实际计算时，通常先拟定缓和曲线长度LS，通过上述约束条件反算半径R，计算图式见图2。

图2 基于对称型曲线的双交点单曲线计算图式

不计切线增值时，对称曲线的切线长计算公式为

其中内移值函数 p(LS，R)为高次方程，可先通过计算内移值p的近似公式(13)简化约束方程(11)，得到半径R的近似公式，则

2.2 双交点复曲线

双交点复曲线以对称型曲线为基本模型，按切基线控制曲线参数时，其约束条件除与式(11)相同外，还增加了

实质上，约束条件与单曲线的情况是完全相同的。计算图式见图3。

实际计算时，通常先拟定受地形、地物等条件限制较严格一侧曲线的半径和缓和曲线长度，反算另一侧的半径和缓和曲线长度。以先拟定R1，LS1为例

按式(17)计算的 TYA值精度较高，则 TYB值可知:TYB=AB －TYA，由式(16)有

图3 基于对称型曲线的双交点复曲线计算图式

由式(19)计算得到的R2是精确的。再由内移值的近似公式可得到LS2的近似值

3 非对称型双交点曲线计算方法

由上节内容可见，基于对称型的计算方法使得曲线与基线之间仍有内移值，因此曲线并不是严格切基线的，为此，可采用非对称曲线为基本模型。

3.1 双交点单曲线

严格切基线的双交点单曲线可看作前后两个非对称基本型曲线在GQ点处首尾相接，而两个曲线的半径相同，用RT表示，计算图式见图4。

图4 基于非对称型曲线的双交点单曲线计算图式

计算时，通常先拟定两端的缓和曲线长度LSA1和LSB2，它们可以相等，也可以不相等，视地形、地物约束以及前后接线情况而定。对于 JDA而言，其第2缓和曲线 LSA2=0，相应地，qA2=0，pA2=0;同理，JDB的第 1缓和曲线 LSB1=0，qB1=0，pB1=0。

反算RT的约束条件为

TA2，TB1分别是JDA曲线的第2切线长和JDB曲线的第1切线长，由式(6)至式(9)可得

与式(13)、(14)思路相同，可得

3.2 双交点复曲线

计算图式见图5，其约束条件和计算思路与3.1节所述完全相同。

图5 基于非对称型曲线的双交点复曲线计算图式

具体计算时，通常先拟定两端缓和曲线长，然后拟定两半径之一，反算另一个，其实质是由切线长控制半径。假定已拟定 LSA1、RA、LSB2，则

由式(21)，TB1可知，则

4 关于计算精度的讨论及算例

式(1)，(2)实际上是近似公式，但在工程应用中已可满足精度要求。

式(14)，(20)，(23)，(27)均为近似公式，主要原因是内移值采用了近似公式，其计算精度与半径大小与缓和曲线长度有关。如需得到较为精确的结果，内移值需按式(4)计算，并采用数值方法编程求解。具体应用时，利用Excel软件中的“单变量求解”功能进行计算也是较好的选择，无须复杂的编程，计算精度满足工程需要。

图6为双交点单曲线的Excel计算表界面。图中目标值即为约束条件要求的期望值，计算时先选中目标值对应的单元格，点击“工具”下拉菜单选择“单变量求解”选项，在弹出对话框的“目标值”栏中输入0，在“可变单元格”中选择计算对象所在单元格，即可得到计算结果。

图6 双交点单曲线参数计算表界面

5 结语

本文主要讨论了双交点单曲线和复曲线在切基线条件下确定曲线参数的几种计算方法，关于双交点卵形曲线的计算，在有关文献已有介绍。

当曲线半径、缓和曲线长度等设计参数确定后，根据不同的计算模型，各曲线要素及其几何关系已明确，主点桩号、逐桩坐标计算及曲线细部测设按常规方法进行即可，无需赘述。

对于双交点复曲线，本文推荐采用基于非对称曲线的计算方法，不仅可以严格切基线、便于控制线位，而且可将其按两个基本型曲线分别计算、测设，应用较简单、方便。需要特别注意的是，在两曲线交接处，超高、加宽应单向过渡。

[1]王身高.公路卵形曲线设计新方法研究[J].公路，1998(8):17-22.

[2]贾全民，马彦涛，关学生.浅议用坐标法计算既有线曲线[J].铁道建筑，2010(2):102-105.

[3]交通部第一公路勘察设计院.公路设计手册(路线)[M].北京:人民交通出版社，1979.

[4]杨少伟.道路勘测设计(3版)[M].北京:人民交通出版社，2009.