应用假设法解一道高考选择题
——2011年高考江苏卷第9题

胡学兵

（江苏省淮阴中学 江苏 淮阴 223002）

【原题】如图1所示，倾角为α的等腰三角形底面固定在水平面上.一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧；绸带与斜面间无摩擦.现将质量分别为M，m（M＞m）的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上.两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等.在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有

A.两物块所受摩擦力的大小总是相等

B.两物块不可能同时相对绸带静止

C.M不可能相对绸带发生滑动

D.m不可能相对斜面向上滑动

从题目所给的信息，很难直接解决所问的问题.该题对学生的能力要求很高，对于难点的突破，笔者充分使用了假设法.希望以下的讨论能够得到同行的指教，发现其中不足，以共同提高.

图1

1 必须理解的问题

（1）轻质绸带：理想化的模型，绸带中的张力沿绸带方向处处相等.

（2）斜面模型：动摩擦因数μ与斜面倾角α的关系决定了物体在斜面上如何运动.

1）当μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα.物体沿斜面匀加速下滑，滑动摩擦力f＝μmgcosα；

2）当μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα.物体沿斜面匀速下滑或静止，摩擦力f＝μmgcosα＝mgsinα；

3）当μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα.物体静止在斜面上，静摩擦力f＝mgsinα.

（3）物体在绸带上，与绸带的动摩擦因数为μ，存在以下几种可能：

1）当μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物体与绸带运动无关，相对斜面匀加速下滑；

2）当μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物体与绸带运动方向有关，相对斜面沿斜面加速下滑或静止；

3）当μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物体相对绸带静止，相对斜面沿斜面（向上或向下）运动或静止.

2 假设法分析

（1）假设1：当动摩擦因数μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物体与绸带运动无关，相对斜面匀加速下滑.假设三种可能：

1）M，m均相对斜面匀加速下滑且绸带不动；

2）M，m均相对斜面匀加速下滑且绸带随M一起运动；

3）M，m均相对斜面匀加速下滑且绸带随m一起运动.

上述三种情况1）中，两个物体与绸带间的摩擦力均为滑动摩擦力，则绸带两端所受的摩擦力分别为μMgcosα，μmgcosα，与轻质绸带中的张力处处相等矛盾，故不成立.2）中，两个物体的与绸带间的摩擦力分别为静摩擦力、滑动摩擦力，则绸带与m之间的摩擦力为μmgcosα，与M之间的摩擦力在零至μMgcosα区间内.只要两端的摩擦力相等就可以成立；而μmgcosα在区间内，故成立.3）中，两个物体的与绸带间的摩擦力分别为滑动摩擦力、静摩擦力，则绸带与M之间的摩擦力为μMgcosα，与m之间的摩擦力在零至μmgcosα区间内；而μMgcosα不在区间内，故不成立.

总之，当μ＜tanα，M与绸带一起沿斜面匀加速下滑，m相对斜面匀加速下滑，相对绸带运动.

（2）假设2：当动摩擦因数 ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物体与绸带运动方向有关，相对斜面沿斜面加速下滑或静止.假设三种可能：

1）M，m均相对斜面静止且绸带不动；

2）M相对斜面加速下滑，m待定；

3）M相对斜面静止，m待定.

上述的三种情况1）中，两个物体与绸带间的摩擦力均为静摩擦力，则绸带两端所受的摩擦力分别为Mgsinα，mgsinα，与轻质绸带中的张力处处相等矛盾，故不成立.2）中，M与绸带间的摩擦力必有f＜Mgsinα＝μMgcosα，即静摩擦，故m与绸带之间的摩擦力为μmgcosα，存在f＝μmgcosα，故成立.3）中，M与绸带间的摩擦力为Mgsinα＝μMgcosα，而m与绸带之间的摩擦力在零至μmgcosα区间内，而μMgcosα不在区间内，故不成立.

总之，当μ＝tanα，M与绸带一起沿斜面匀加速下滑，m相对斜面静止.

（3）假设3：当动摩擦因数μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物体相对斜面沿斜面向上或沿斜面向下或静止，物体相对绸带静止.假设三种可能：

1）M，m相对斜面均静止；

2）M相对斜面沿斜面向上加速，且M，m均相对绸带静止；

3）M相对斜面沿斜面向下加速，且M，m均相对绸带静止.

上述的三种情况1）中，两个物体与绸带间的摩擦力均为静摩擦力，则绸带两端所受的摩擦力分别为Mgsinα，mgsinα，与轻质绸带中的张力处处相等矛盾，故不成立.2）中，M与绸带间的摩擦力要大于Mgsinα，而m与绸带之间的摩擦力要小于mgsinα，两端的摩擦力不可能相等，故不成立.3）中，M与绸带间的摩擦力要小于Mgsinα，而m与绸带之间的摩擦力要大于mgsinα，故两端的摩擦力可能相等，所以假设成立.

总之，当μ＞tanα，M与绸带一起沿斜面匀加速下滑，m相对斜面沿斜面匀加速向上运动，且相对绸带静止.

综上分析，M与绸带相对静止，m与绸带相对静止或相对运动，故选项A，C正确.

此题比较新颖，笔者觉得很适合利用假设法去突破.如果能够这样给学生讲解，想必会给教学带来很好的效果.