对“提出问题能力”考查的命题设想与实践认识

200135 上海市建平中学 虞 涛

培养学生的创新意识和创新思维是学科教育的目标之一.然而，具体地实现这个目标的突破口在哪里呢?不少教育专家提倡对“提出问题能力”的考查.

1 对“提出问题能力”的考查的意义和目标

学贵知疑.古代大教育家孔子提倡“疑思问”的主张，以“敏而好学，不耻下问”为座右铭.“疑是思之始，学之端”，“于不疑处有疑，方是进矣”，“大疑则大进，小疑则小进”.近代著名教育家陶行知曾说过“发明千千万，起点是一问”.在实践认识活动中出现疑惑即问题，便可促进人们积极思维，从而发现问题，提出问题，直至发明创新.因此培养学生提出问题的意识是激发学生创造性思维的根本和源泉.爱因斯坦把提出问题放在一个很高的地位.他曾经说：“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”

提出数学问题(以下简称“提出问题”)是指在一个独立的数学问题情境中创造新问题或对已知数学问题的再阐述.《美国课程纲要》把“提出问题”作为一个重要的课程目标，认为它是做数学的核心.在美国数学教育研究上，提出问题被用来作为探测不同学生数学理解差异的工具.学生通过提出自己的问题表达数学观念，不仅展示了他们对数学概念的理解水平，而且也反映了他们对数学本质的理解.

我国《全日制义务教育数学课程标准》要求学生能够“初步学会从数学的角度提出问题、了解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识.”《高中数学课程标准》提出了进一步的要求：“提高数学的提出问题、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获得数学知识的能力.”《上海市中小学数学课程标准》提出了更高、更具体的要求：“学会自主进行学习，独立探究问题;能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控，对知识进行系统整理;会对已有的知识经验进行反思、质疑，有发散思维的习惯和求异思维的心理，敢于提出自己独立的见解.”

2 对“提出问题能力”的考查的评价方式

近几年，上海高考命题大胆地实施独特的能力立意，形成个性鲜明的试卷，走在以考试促进素质教育的改革的最前列.上海高考命题组积极探索新课程理念指导下的命题改革.《上海卷考试手册》对数学探究与创新的考查要求如下：“会利用已有的知识和经验，发现和提出有一定价值的问题.”上海教育考试院专家明确提出要在数学考试中评价学生研究性学习的能力.“不仅考查就事论事回答问题，更关注学生有哪些发散、创新的思维亮度”;“不仅考查给出问题、求解问题的能力，更关注学生还能发现和提出什么问题”.如果在目前具有“指挥棒”的高考中加大这方面的考查力度，不仅有利于人才的选拔，有利于推进新课程理念在中学教学的实施.但如何在大规模、高难度的考试中具体实现这些是一个艰巨而又重要的任务!这里，本文从命题考查的角度作些探讨.

首先，对“提出问题能力”的考查将更注重过程性、开放性的评价，势必带来传统的评价方式和评分标准的改革，只有科学、有效的相关的评价标准，才能实现对学生理解的准确性、提出问题的合理性、研究问题的思维性和表达问题的简洁性的全面考查.具体地，可以从以下几个基本原则进行分析.

2.1 提出问题的准确性

提出的问题要合乎要求，表达问题清晰、明确，逻辑结构清晰.

2.2 提出问题的价值性

能够抽象概括，使原有问题的意义得到拓展;能够联想到多个知识点或事件，并能将它们联系起来，具有正确可行的思路或方法.

2.3 研究问题的思维性

●复杂性：问题呈现动静结合，内涵丰富，避免了单一性、确定性的问题;问题具有可探讨的价值，体现思维的深刻性;问题具有可操作性，可利用所学知识进行解决，避免走向过难或过易的极端状况;

●广阔性：问题沟通多方面知识，具有开放性，体现思维的发散性，方法的多样性;

●全面性：引发了全面地、细致地分析问题的可能性，体现了思维的完备性、缜密性;

●难易性：引发了解决问题需具备的思维的迁移性、逆向性、灵活性、简缩性;

●创新性：创设问题的角度新颖，体现学生思维的独创性、求异性和批判性;

2.4 解决问题的完整性

解题过程条理清晰，结构完整，有完美的、最终的结论，或部分重要的结论;结论具有独特性或创造性.

2.5 表达问题的简洁性

文字表达简洁流畅，符号运用规范，图形表示准确无误.

3 对“提出问题能力”的考查的评分标准

不妨以满分10分制划分四类试卷的评分标准

A类卷：(8—10分)，具体要求为：

●提出的问题合乎要求，具有开放性、并有一定的深度或相当的价值;

●解题过程条理清晰，结构完整，有完美的、最终的、或接近最后的结论;

●问题的解答灵活运用了试验、特殊化、逆向、分类、类比或归纳等多种思维方法;

●文字表达简洁和流畅，符号表达准确无误，图形表示规范;

B类卷：(5—7分)具体要求为：

●提出的问题合乎要求，有一定的深度;

●解题过程条理较清晰，结构较完整，有完整的、明确的结论;

●问题的解答正确运用了一、两种思维方法;

●文字表达、符号表达和图形正确无误;

C类卷：(2—4分)具体要求为：

●提出的问题基本合乎要求，但内容缺乏深度;

●解题过程条理不够清晰，结构不够完整，解题过程有失误，但有部分正确的结论;

●解答不完整，有部分正确的解题思路;

●文字表达不清晰、符号表达混乱或图形表示失误;

D类卷：(0分)符合下列标准中的一项即给四类卷.

●提出的问题不合要求;

●表达不清;

●解答出现严重失误，或没有解答;

●没有提出问题.

4 对“提出问题能力”的考查的课堂实践

这里取材于课本上的一道习题为第1问，增添的具有考查“提出问题能力”第2问.我把这个问题放在课堂中进行了一次试验.学生成功地解决了第1问，了解第2问的解题方法后，各自类比提出新的问题，从运算关系(包括加、减、乘、除、乘方、对数运算等)或等量关系(在系数、次数等)方面进行拓展引申.同学们的积极参与使得问题在纵向或横向上拓展，获得各种不同的结论.在层出不穷的新问题的探究中，学生的思维能力得到锻炼.这是一次饶有趣味，又很有意义的尝试!

案例(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.

(1)在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知 c=2，a+b=2c，试建立适当的坐标系，求顶点 C的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

(2)改变划线部分：三角形三边a，b，c之间的运算关系或数量关系，继续探求相应的结论.

(2)关于写出关系式和解答问题的评分标准如下：

A类卷 问题合乎要求，答案准确、全面.满分为10分.

(4)…ab=c，…，则顶点C的轨迹方程为 (x2+y2+1 )2-4x2=16，非圆锥曲线.研究轨迹的性质，如形状为一个密闭曲线，既是轴对称图形，又是中心对称图形，顶点为

(5)…a+b=kc，…，则顶点C的轨迹方程为：当k＞1时，椭圆;当k=1时，线段;当k＜1时，不存在.

B类卷 问题合乎要求，答案有欠完整.满分为6分.

(4)…ab=c，…，则顶点C的轨迹方程为…，非圆锥曲线，未研究轨迹的性质.

(5)…a2+b2=c2，则顶点C的轨迹方程为x2+y2=1

C类卷 问题机械模仿，结论明显失误.满分为4分.

(2)…a+b=3c，…，则顶点C的轨迹为椭圆.(未能求出方程)

(3)…ab=c，…，则顶点C的轨迹方程为….(未能化简方程和研究性质).

(4)…a-b=2c，…，则顶点C轨迹为双曲线.(结论明显失误)

(5)…a+b=c，…，则顶点C的轨迹为椭圆.(结论明显失误)

(6)…ab=2c.…，(不能进行求解)

(7)…logab=2c，即a2=2b.(未能进行求解)

D类卷 不合题意.不得分.

(1)…a=b，…，则顶点C轨迹为直线(不符合要求)

(2)…a+b＞2c，…则

(3)(没有提出问题)

5 对“提出问题能力”的考查的阅卷方案

这里以下面一道试题(2007年春季高考第17题)对当年参加上海市春季高考的1万多学生进行考查，命题者给出了不同传统的案例式、分层的评分标准.这是我国高考第一次考查对学生提出问题能力的试题!它引发了许多专家和老师激烈的讨论.

案例 (本题满分14分)求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

试给出问题“在平面直角坐标系xOy中，求点P(2，1)到直线3x+4y=0的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

∴点(2，1)到直线3x+4y=0的距离为2. (4分)

(2)按提供的样例评分.当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.

D级 不能正确理解试题要求，提出不合题意的问题，毫无意义，与原问题关系不大，或提出的是错误的问题，或提出的问题逻辑混乱，或没有提出问题.这类答卷在提出、并解答“逆向”问题中应得0分.如提出“逆向”问题为：

(1)直线3x+4y=0是不是以P2，()1为圆心、2为半径的圆的切线?

(2)求到点P( 2，1)的距离等于2的点的轨迹;

(3)过点P2，()1的直线交3x+4y=0于M点，P到直线3x+4y=0的距离为2，求△OPM的面积;

(4)求点P2，()1关于直线3x+4y=0的对称点;

(6)到点P(2，1)距离为2的正比例函数的方程是什么?

(7)与以点P(2，1)为圆心、2为半径的圆相切，且过原点的直线是3x+4y=0.

C级 只是将原有问题中的条件和结论作简单的交换，或仅仅将其中某个具体的数学对象(点的坐标或直线方程的系数)作一些形式上的改变(如更改数字或字母)，并没有实质性地理解问题的本质，使“逆向”问题局限在原有的框架中.这类答卷在提出、并解答“逆向”问题中，满分应分别得2分.如提出“逆向”问题为：

(1)点P(2，1)是不是到直线3x+4y=0的距离为2的点?(6分)

所以点P(2，1)是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点.(8分)

(2)点Q(1，1)是不是到直线3x+4y=0的距离为2的点?(6分)

所以点Q(1，1)不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点.(8分)

(3)已知点P(x，1)(或P(2，y))到直线3x+4y=0的距离为2，求x(或y).

(4)已知点P(2，1)到直线ax+4y=0(或3x+by=0)的距离为2，求a(或b).

(5)求过原点，且在二、四象限的直线方程，使点P(2，1)到它的距离为2.

B级 利用所给材料，不仅仅使用原有问题中给出的数学对象，并且跳出原有框架，从一个确定的角度出发设问.这类答卷在提出、并解答“逆向”问题中，满分应分别得3分.如提出“逆向”问题为：

(1)求与直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程.(7分)

所求轨迹为3x+4y-10=0或3x+4y+10=0.(10分)

(2)若点P(2，1)到直线l：y=kx+b的距离为2，求直线l的方程.(7分)

(3)若点P(2，1)到直线l：ax+by=0 的距离为 2，求a，b之间的关系.

A级：能抓住“逆向”问题的本质，按照要求提出一个实质性的问题，并且能够把握多个与“距离为2”有关素材的联系，设问是有积极意义的.这类答卷在提出、并解答“逆向”问题中，满分应分别得5分.如提出“逆向”问题为：求点P(2，1)在与它的距离为2的直线上的射影的轨迹.(9分)

解 点P( 2，1)在与它的距离为2的直线上的射影的轨迹为以P( 2，1)为圆心、半径为2的圆.其轨迹方程为(x-2 )2+(y-1)2=4.(14分)

本题的本质：与点P( 2，1)距离为2的直线为一簇动直线，直线系方程为 (x-2) cosθ+(y-1) sinθ+2=0，该动直线形成的包络，即以P2，()1为圆心、半径为2的圆为所求的轨迹.

6 对“提出问题能力”的考查实践的反响和认识

许多老师和专家对上面的试题的部分表述有过激烈的讨论.不少人认为，数学命题语言要求严谨、精确，似乎“有意义”应该为“有价值”.在数学上“有意义”指对“存在性”，“有意义的”意思就是“客观存在的、有确切定义的”，而“有价值”明显涵盖价值高低之意.他们认为，命题者使用了“有意义”的另一层意思(也是较通俗的意思)——“有研究价值的”.

如果我们希望学生能够提出“有价值”的问题.但“有价值”的问题对不同的人有不同的含义.从认知论角度讲只有当学生提出的问题符合他自己的最近发展区才是一个有价值的问题.我们所需要的并不是学生无一遗漏地提出所有的问题.学生应有对自己提出的问题进行判断的能力.他能在某种程度上评价出他的问题的难度，估计出他离这个问题的“心理距离”大概有多大.此外，数字的美感、几何的美观、数与形的和谐感都是判断的依据.当然只有在学生经过成百上千次提问练习之后他才可能具有辨别“有价值的”问题的能力.

在对学生答题情况进行抽查，这种试题形式对教师和学生都很陌生，不会应答.在考场里的一般决断都是：得分第一，怎么简单、可靠，就怎么做.虽然评分是根据问题提出的优劣、解决问题的难易、研究价值思维层次的高低决定的，但是实际上学生根本考虑不到这么多，即便考虑了研究价值，也不会舍近求远，避易趋难.

7 对“提出问题能力”的培养方法和学习策略

虽然发现问题、提出问题、分析问题、解决问题是二期课改的主要精神之一.在现实教学中，学生认为提问是教师的专利，老师在每节课上都会提出很多问题，自己根本不需要考虑问题，自己要考虑的问题在课堂上老师都会提出来.自己只要认认真真学习，毫无疑问地接受老师所讲的内容，学会解书本上的习题就能取得“好的成绩”.而在课外，大部分数学问题均来源于辅导资料.学生很少有机会提出自己的问题，即使有，也更倾向于提出熟悉的、简单的和容易解决的问题.目前“高考”仍然是课堂教学的指挥棒，考试是课程改革的推进器.要考查学生“提出问题能力”，关键是平时的培养.要课堂内、外鼓励学生勇敢提出问题.正如著名物理学家李政道所说：“我们学习知识，目的是要做‘学问’，学习即为问问题，学习怎样问问题.”“提出问题能力”需要长期培养，教师在教学中应经常示范如何提出新的问题.应引导学生对问题的科学性、简明性等加以审视、评价和改进，从而提高提出问题的水平.

学生学习提出问题，还需要掌握一些基本的提问技巧.否定假设法，即首先列出信息的特征，然后对原问题的条件和限定进行否定思考而产生新问题;还可以通过建立问题提出的框架模型，运用一些重要数学思想，如证明、反转、归纳、拓展，根据已知问题系统地产生新问题.而对于上面的试题，我们可以采用从问题结构形式上改变进行提问：对于一个给定的数学问题，它含有已知的信息、未知的信息和一些内在的和外在的限制条件，可通过改变问题某个信息的种类来提出问题，可以是逆向性问题、特殊性问题、一般性问题和相似性问题.

学会提出问题，还要会判断如何是好的或者说有意义的问题.教学的有效性往往取决于问题本身的优劣，因此确定判断一个好问题的评价标准就显得很重要.数学教育家波利亚认为，一个好的问题应具备如下特征：

(1)是现实的、有趣的;

(2)问题具有较强的挑战性和探索性;

(3)问题的解决具有解法的多样性和思维多样化;

(4)问题能推广或扩充到各种情形.

而对于上面的试题的回答，教师可以从下几个方面进行评价.

直接性，从原始问题所涉及的基本要素出发，提出最直接、最简单的问题;

联系性，从原始问题的知识结构和数学本质出发，提出相关的问题;

变化性，让原始问题的呈现出动静结合的状态，避免提出单一的、无意义的问题;

开放性，让原始问题的某个条件一般化，探究结论的多种情况，或多个层次;

操作性，让提出的问题明确、简练，方便解答，避免过难或过易的极端现象.

学生在解答提出的问题过程中，能够自我评价、修正、优化问题的结构.

另外，在考查结果中出现的种种不足，表明考生缺乏对数学问题的真正理解.因此，如何加强学生对数学本质的理解、提高数学语言的表达能力，是课堂教学中始终要把握的.数学是一种刻画自然规律、社会规律的科学语言，学会用简洁、准确、优美的数学形式表达诸多问题，理应是数学双基教学的内涵.提出一个好的问题，需要仔细的观察、深入的思考、敏锐的眼光、深刻的思维、准确的表达，“提出问题能力”是一种综合性的创新能力.

“提出问题能力”在数学教育的目标中的作用愈加重要，如何评价学生这种能力成为数学教育工作者广泛关注的问题.如何对“提出问题能力”的水平进行刻画，对大规模考试结果的精确地评分，依据什么理论，它能否反映出学生的问题意识与创造性的思维品质，进一步，这种评价方式对于改进教学或学习是否能够起到积极的推动作用.对“提出问题能力”的评价不仅关注学生提出问题的结果，也要关注学生提出问题的过程，不仅关注学生提出问题的水平，也应关注他们在提出问题活动中情感态度的变化.因此，如何从多角度和多层面来设计标准，以使“提出问题能力”的评价能基于动态的、不断呈现学生思维发展的提出问题过程.这仍然是值得我们进一步研究的重要话题.

1 上海市中小学数学课程标准.上海教育出版社，2004，10

2 上海卷考试手册.上海古籍出版社，2008，2

3 杨家政.改善学习方式学会反思.数学教学，2007，2

4 蒋云鹏.对高考开放型试题命制的两点建议.数学教学，2009，4

5 李详兆.知识分类——提出数学问题.数学通报，2005，11

6 施斌.改革试验田秋考风向标.数学教学，2007，2