初中数学《多边形内角和》教学实录与评析

袁明霞

（抚顺市第五十中学，辽宁 抚顺 113000）

初中数学《多边形内角和》教学实录与评析

袁明霞

（抚顺市第五十中学，辽宁 抚顺 113000）

一、教学设计与策略

（一）教学设计的指导思想及依据

新课程标准提出：课程内容要反映社会的需要，数学特点要符合学生的认知规律。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。在课堂教学活动中，教师应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。教师要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

（二）教学策略的选择与设计

笔者在《多边形内角和》一节中，共设计了7个数学活动，其中第2、3、4活动通过采取小组合作学习策略来组织课堂教学和学习。这样既能做到学生积极参与，学生共同发展，同时也能培养学生的数学学习习惯与浓厚的学习兴趣。

（三）教学目标

知识目标：

①通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式，让学生感受数学思考过程的条理性，发展学生推理能力和语言表达能力。

②通过多边形转化成三角形的教学，让学生体会转化思想在几何中的运用，同时也让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

③通过探索多边形内角和公式，让学生经历从实验几何过渡到论证几何的过程。

过程与方法：通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同角度去寻求解决问题的方法并能有效地解决该问题。

情感态度与价值观：通过猜想、推理等数学活动，让学生感受到数学活动充满着探究以及数学结论的确定性，以此来提高学生学习数学的热情。

（四）教学重点和难点

重点：探究多边形内角和公式。

难点：探究多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。

（五）教学方法

引导发现法、讨论法。

（六）教具、学具、教学媒体

教具：多媒体课件。

学具：三角板、量角器、纸板、剪子。

教学媒体：大屏幕、实物投影。

二、教学过程实录

（一）创设情境，设疑激思

师：（计算机显示生活中的图片）同学们你能从下列图片中找出我们熟悉的多边形吗？

生1：能。有三角形、长方形、四边形、八边形、六边形、五边形。

师：大家都知道三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和你知道是多少吗？

（学生思考，教师演示四边形图1、图2、图3）

师：请同学们借助老师准备的四边形纸板及学具，小组交流，找出共有几种解决此问题的方法？（学生在独自探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法）

生2：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360°。

生3：把两个三角形纸板拼在一起构成一个四边形，发现两个三角形内角和相加是360°。

接下来，教师在生3的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把三个四边形分别转化成两个、多个三角形。

生4：因为有生3的启发，在四边形内或在四边形边上找一点，把一个四边形转化成几个三角形，进而也能得出四边形的内角和是360°。

师：你们的反应真快！

（二）新课讲授

师：数学的学习往往可以将未知的知识转化为已经学过的知识来解决问题，那你能用连接对角线的方法探索五边形、六边形的内角和吗？

（学生思考，教师观察学生的表情，了解学生的对问题理解情况。学生很快先独立思考，并将自己的想法说给同组同学）

生5：把五边形分成三个三角形，3个三角形的内角和是540°。

生6：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180°的和减去一个周角360°，结果得 540°。

生7：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180°的和减去一个平角180°，结果得540°。

生8：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用 180°加上 360°，结果得 540°。

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（在此过程中，教师关注的是，学生能否用类比四边形的方式来解决问题并得出正确的结论，学生是否还能采用其他的方法来解决该问题）

师：你真聪明！做到了学以致用。

（学生总结的方法太好了，学生之间配合的默契，讲解的完美，使笔者认识到，只有培养学生学习的兴趣、主动性，才能真正把课堂还给学生。在得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是 720°）

师：你能继续探索多边形的内角和吗？从多边形其中的一个顶点出发引对角线，分析三角形的个数与多边形边数的关系，多边形的内角和与多边形边数的关系你能填出吗？

多边形的边数 3 4 5 6 7 … n分成的三角形个数 1 …多边形的内角和 180° …

（教师的追问使学生的思维向纵深进一步发展。学生沉思一会儿自动开始填写，很快学生就填出了结果）

师：我们通过多边形转化成三角形这种思想，体会了从特殊到一般的认识问题的方法。你能运用多边形内角和公式解决问题吗？

例1：如果一个四边形一组对角互补，那么另一组对角什么关系？

生9：利用本节的知识点四边形内角和为360°，可得出，如果一个四边形一组对角互补，那么，另一组对角和为360°-180°=180°，所以另一组对角也是互补的关系。

师：你的想法太好了，反应也太快了！

（教师板演，学生叙述过程）

例2：在六边形的顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？

生10：利用多边形的内角和及邻补角的性质，可得出，六边形的外角和=180°×6-（6-2）×180°=360°

师：同学们，你能进一步发挥你的智慧猜想任意一个n（n＞3）边形的外角和是多少吗？

生11：类比六边形的外角和的求法，可得出，任意一个 n（n＞3）边形的外角和=180°n-（n-2）×180°=360°

师：同学们你们的思维真敏捷，相信同学们积极思考，大胆猜想，数学的美妙会时时出现。下面让我们共同比一比，赛一赛看谁思维更快。

（三）巩固练习

师：请看题（计算机显示）口答：

①七边形内角和（ ）②九边形内角和（ ）③十边形内角和（ ）

（学生读题思考，很快就有多数学生举手）

师：你们回答的非常正确。看下面的问题，看看谁反应的最快？抢答：

①一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？

②一个多边形的内角和是1440°，且每个内角都相等，则每个内角的度数是（ ）度。

③多边形的边数增加1，内角和就增加（ ）度；多边形的边数由7增加到10，内角和增加（ ）度。

④一个多边形内角和与外角和相等，它是（ ）边形。

⑤一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是（ ）边形。

⑥已知某多边形的内角和与外角和的比为9：2，则它是（ ）边形。

（问题一抛出，就有近二分之一的学生有了答案，但是教师有意“慢”节奏，关注了全体学生，同时也是给学生充足思考时间，进而达到了学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。师生互相纠正达到了巩固练习的效果）

（四）拓展与延伸

师：老师有一个设想：2008年奥林匹克运动会是在北京举行的，我想设计一个内角和是2008°的多边形图案是多么有纪念意义呀，老师的想法能实现吗？

生12：不能。因为根据n（n＞3）边形的内角和为（n-2）×180°，说明多边形的内角和一定是180°的整数倍，而2008°不是180°的整数倍，所以不能实现。

（学生的表述太完美了，我不由自主地为学生鼓起掌）

师：你能挑战自我吗？现在有一张四方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？有几种情况？

生13：是180°，剩下残余桌面是三角形。

生14：我的想法与他不同。

师：说说你的看法。

生14：还可以是540°，剩下残余桌面是五边形。

生15：我的想法与他们都不同。

师：说说你的看法。

生15：还可以是360°，剩下残余桌面是四边形。

师：他们的想法对吗？

生16：他们的想法都对。（学生上黑板演示）若没有过任一个顶点锯掉它的一个角，剩下残余桌面是五边形。若过一个顶点，但不是对角线锯掉它的一个角，剩下残余桌面是四边形。若过一条对角线锯掉它的一个角，剩下残余桌面是三角形。

师：太精彩了。（学生的演示非常出色，自信、智慧的学生时时令我骄傲）

（五）总结归纳

师：下面请同学们想一想你这节课有哪些收获？

生17：我学会了多边形的内角和与它的边数的关系，以及多边形的外角和公式，并学会了转化与分类的数学方法。

生18：我体会到了同学之间的相互交流学习的快乐。同学之间有不同的方法，通过小组交流，能让我的思维得到更高的提高。

三、教学反思

（一）教的转变

本节课，教师始终把学生的学习定位在自主探究知识基础上，教师从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师在引导学生小组讨论，动手画图、测量、剪、折等活动过程中，充分调动学生自己去发现结论，激发学生自觉探究数学问题，让学生体验到了合作学习所带来的乐趣。

（二）学的转变

学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是仅停留在对一个问题的掌握，更主要的是学生掌握了学习数学的方法与技巧，增加了探索学习的热情，体验到了学数学的乐趣，同时学生也感受到了站在研究者的角度深入其境的探究数学的乐趣。

（三）课堂氛围的转变

整节课以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预。整节课学生与学生，学生与教师之间以“讨论”“互学”“互助”为出发点，以互助合作为手段，以发现和解决问题为目的，通过猜想、推理等数学活动，学生感受到了数学活动充满着探究以及数学结论的确定性，提高了学生学习数学的热情。让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。

张华伟）