环ZM 上线性循环码的深度谱

常晓鹏，郑喜英，孔 波

(1．河南教育学院 信息技术系，河南 郑州450046;2．黄河科技学院 信息工程学院，河南 郑州450005;3．河南教育学院 数学系，河南 郑州450046)

0 引言

Etzion T［1］给出了码字的深度、码的深度分布等概念，并定义了一些码的深度分布． Mitchell C J［2］给出了二元循环码的深度分布． Luo Y 等［3］给出了线性码深度分布的计算公式． 朱士信等［4］证明了4k12k2型的四元线性码至少含有k1+k2个非零深度值，并给出了Z4环上循环码的深度谱． 石立叶等［5］证明了4k和2k型的四元循环码恰有k个非零深度值，4k12k2型的四元循环码至少有k1+k2个非零深度值，并给出了它的深度谱． 郑喜英等［6］给出了整数剩余类环Zpm上的循环码的深度谱．

笔者首先介绍了整数剩余类环ZM上循环码的基本概念及深度的概念和性质，然后由中国剩余定理给出了ZM上长为n(这里n 不整除R-的特征)循环码的深度谱．

1 基本概念和结论

设R=ZM的极大理想为I，令R-=R/I．R 上长度为n 的线性码C 叫做循环码，若满足性质:∀c = (c0，c1，…，cn-1)∈C ⇒(cn-1，c0，c1，…，cn-2)∈C．

我们把R 上长度为n 的循环码定义为R 上的一个加法子模Rn．如果f(x)整除xn-1(即xn-1 =f(x)g(x)，就记g(x)=(xn-1)/f(x)为f^(x)．因此，C 是循环码的充要条件是C 是多项式环R［x］模xn-1 的剩余类环R［x］/(xn-1)的理想．

任取x=(x1，x2，…，xn)∈R 定义x 的微分为D(x)=(x2-x1，x3-x2，…xn-xn-1)． 这里约定n=1时D(x)= 0． 对1 ＜i ≤n，定义Di(x)=D(Di-1(x))．显然D 是从Rn到Rn-1的一个线性算子．

对任意多项式l(x)∈R［x］，定义线性算子

定义Γ

称为截取算子． 那么Γi就是截去前i 位保留后n-i位的算子．

合并算子Lx-1和Γ，有ΓLx-1(a0，a1，…，an-1)= (a0- a1，a1- a2，…，an-2- an-1)，显然D= -ΓLx-1．易证三个算子间的关系如下．

引理1［5］对0≤i≤n，有Di= -Γi-1．

定义1 称使Di(x)=0 成立的最小非负整数i 为x 的深度，记为depth(x);若没有这样的i存在，则令x 的深度为n．

定义2 设C 是环R 上长为n 的码，用Di表示C 中深度为i 的码字个数，则称集合{D0，D1，…，Dn}为码C 的深度分布，称{i|Di≠0，1≤i≤n}为码C 的深度谱，记作Dept (C)． 约定Dept({0})=φ．

引理2 (1)微分算子D 是从Rn到Rn-1的满线性同态;(2)如果depth(x)= d ＞t ＞0，则depth(Dt(x))=d -t;(3)Dept(Rn)={1，2，…，n}．

定理1 设C 是环R 上长为n 的码，即C⊂Rn;设1≤i≤n，记C' =Di(C)是码C 通过算子Di在Rn-i中的像，记C″={c∈C|Di(C)=0}，则Dept(C)=Dept(C″)∪(i+Dept(C'))．

证明 可参看文献［5］中定理2．6 的证明．

2 主要结论及其证明

定理2［6］设C 是有限链环Zpα上长度为n的循环码，则R［x］中存在两两互素的多项式f0，f1，…，ft，f0f1…ft=xn-1，使得C =，a^f2，…，at-1f^

t)，这里degf^i = n - ki，i = 1，2，…，t． 若(x-1表示(x-1)，但(x-1)si+1不整除)．则C 至少有k1+k2+… +kt个深度值，其深度谱为多重集

1，2，…，st，n-(kt-st)+1，n -(kt-st)+2，…，n}．只要对数大小比较，去掉重复的值即可．

定理3 ZM为任意的模M 剩余类环，C 是ZM上长度为n 的循环码，ZM上长度为n 的循环码C 至少有k11+k12+… +k1t+… +kl1+kl2+…+klt个深度值，其深度谱为多重集:

只要对数大小比较，去掉重复的值即可．

证明 令M=pα11…pαll，p1，…，pl为M 的互不相同的素因子，则在ZM［x］中元素pα11，…，pαll是彼此互素的． 由中国剩余定理，

ZM［x］/〈xn-1〉≅Zp1α1［x］/〈xn-1〉⊕…⊕Zplαl［x］/〈xn-1〉，

设C 是ZM上长度为n 的循环码，则C≅C1⊕C2⊕…⊕Cl，其中Ci为Zpiαi上长度为n 的循环码，由定理2Zpiαi(i=1，2，…，l)上长度为n 的循环码Ci至少有ki1+ki2+… +kit个深度值，其深度谱为多重集

1，2，…，sit，n-(kit-sit)+1，n-(kit-sit)+2，…，n}．只要对数大小比较，去掉重复的值即可．

任取c∈C，存在li(x)∈ZM［x］，使得c(x)== 1，2，…，l，所 以ci∈ Ci，又 depth(c) =max(depth(ci))，所以Dept(C)⊆Dept(C1)∪Dept(C2)∪…∪Dept(Cl)．

显然反包含也成立，即Dept(C)=Dept(C1)∪Dept(C2)∪…∪Dept(Cl)．

ZM上长度为n 的循环码C 至少有k11+k12+…+k1t+… +kl1+kl2+… +klt个深度值个深度值，其深度谱为多重集

1，2，…，slt，n-(klt-slt)+1，n-(klt-slt)+2，…，n}．只要对数大小比较，去掉重复的值即可．

［1］ ETZION E T． The depth distribution:a new characterization for linear codes［J］．IEEE Trans on IT，1997，43(4):1361 -1363．

［2］ MITCHELL C J． On integer-valued rational polynomials and depth distributions of binary codes［J］． IEEE Trans on IT，1998，44(7):1346 -1350．

［3］ YUAN Luo，FU Fang-wei，WEI V K-W． On the depth distribution of linear codes ［J］． IEEE Trans Inform Theory，2000，46(2):2197 -2203．

［4］ 朱士信，杨善林，童宏玺．环Z4 上线性循环码的深度谱［J］． 电子与信息学报，2005，27(10):1597 -1599．

［5］ 石立叶，樊恽． 四元循环码的深度分布［J］． 华中师范大学学报:自然科学版，2009，43(3):355 -358．

［6］ ZHENG Xi-ying，KONG Bo． The depth spectrums of linear cyclic Codes on Ring ZPm［C］//IEEE Youth Conference on Information． Beijing:Computing and Telecommunication，2010:162 -165．Abstract:Based on the depth spectrum of linear cyclic code of length n over the integer residue class ring(i=1，2，…，l)，according to the Chineseremainder theorem，the generatorpolynomialofcycliccodeoflength n(piis not exactlydivisible by n，i=1，2，…，l)overthe integer residue class ring ZM(M =…and p1，p2，…，plare different prime factors of M)is studied． And the depth spectrum of linear cyclic code of length n over ZMis given in the form of multiset．