基于例题分析和解答的微分方程数值研究

田卫章,纵珊侠

（商丘职业技术学院，河南 商丘 476005）

小波分析在许多科学领域都有着广泛的应用，比如信号分析、图像处理、理论物理、军事电子对抗计算机识别，以及医学成像和诊断、地震勘探数据的处理，以及大型机械故障的诊断等等。在数学上，它已广泛应用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解，以及控制论等等。鉴于微分方程在数学学术以及多种科研计算中的价值，用小波法求解微分方程数值已引起越来越多学者的关注。

1 传统微分方程数值计算弊端

在传统的微分方程数值解法中，有限元法和有限差分法虽然得到了普遍应用，但是这两种传统微分方程数值求解的方法在处理梯度较大和冲击波等问题时，求值结果的精确性收到了限制，往往存在一定的计算误差，这就为实际处理问题带来了很大麻烦和困难。比如，P D E s的解既有大面积的光滑，亦有小区域的大梯度冲击和边界层，这种奇异性让有限元法和有限差分法“望而却步”。

对于这种情况，小波法的优势就体现得十分明显，它既有光滑性，又有局部紧支撑性质，因此相较传统的有限元法和有限差分法而言，其可良好地解决其存在的奇异性问题。比如，对于光滑区域，小波发可采用粗网格式，而在奇异区则采用细网格式，如此便节省了对整个问题进行重新离散的步骤，极大节省了时间和计算量，极大地满足了内存需求，并实现了最大程度的计算效率。总之，利用小波法求解微分方程的本质即将方程由原来的坐标系转化到小波系下求解，充分利用方程在小波系下稀疏特性来简化计算。

2 小波法解微分方程数值的研究要点

小波理论的发展和应用已经日渐成熟，尤其在偏微分方程的求解中，已经引起越来越多的数学专家和学者的重视，当前，针对小波基的微分方程数值求解的研究主要体现以下几方面。

（1）小波有限元法。传统的有限元法是把微分方程分解称一个等价的变分方程，然后在此基础上，用R i t z.G a l e r l方法在有限为函数空间中求解变分方程的近似值，进而选取分段连续而且局部非零的基函数。然而，如上文所述，在数值计算中，奇异性的问题往往出现得较为频繁，在奇异区，解的梯度较大，而且会随时发生突变，这就导致在准均匀的网格上，解无法用分片的多项式进行表示。而小波法则具有多尺度、多分辨的特性，它可以把有限元插值函数用多种基函数来表示，其构造的小波单元亦可根据实际需求进行任意的更改，比如改变分析尺度，对变化梯度小的求解域用大的分析尺度表示，将变化梯度大的求解域用小的分析尺度表示，以方便剖分和对奇异性问题的求解。

（2）小波配点法。所谓的小波配点法即是将小波函数和与之相对应的尺度函数或其两者间的组合函数作为基函数，即要有显著的插值特性的基函数，而且其插值点是根据不同尺度提前设置好的。此外，鉴于小波投影系数和网格之间的一一对应关系，可利用阀值运算来实现对网格点计算的自适应过程，即根据函数自身的变化特性自适应地对空间网格的大小和疏密度进行调整，进而达到降低计算量、提高精确度的目的。当前，此种方法已经被很多学者和专家用来求解偏微分方程数值解。比如董晓红等人选择S h a n n o n尺度函数为基函数，利用小波配点法对空间域进行离散，建立起对时间的常微分方程组，然后再进行求解，有效简化了计算量，另外沈远彤等人则通过小波配点法对一类含小参数的奇摄动方程，有效判断了其奇异点的位置，且给出了相应的数值解，其足以说明小波配点法的功效。

（3）数值计算预处理。在数值计算预处理上，小波基可用作改善大型方程组系数矩阵的条件数，进而达到数值计算预处理的有效性。此外，鉴于微分方程的通解对整个计算机域的信息较为依赖，因此相比离散解算子在经典方法中常常表示为稠密矩阵的形式。而小波基则可将其表示为相对简单的稀疏形式，如此算子计算中的稠密矩阵的乘法便可转化为稀疏矩阵间相乘，如此不仅有效降低了计算量，而且节省了存储空间，极大提高了算法的收敛速度和性能。

3 微分方程数值的例题解析

（1）求值步骤。在使用传统的求解微分方程数值解的过程中，在对具有奇异的热传导方程进行求解时，常出现震荡现象，或是造成的误差较大，因此其应用收到较大影响，局限性明显，而小波法无论是在频率上，还是在时间上都良好地克服了传统方法的缺点，因此更适合求解具有奇异解的热传导方程，具体例题解析如下。

根据可解的热传导方程可以得出关于时间t的显示离散格式，如下公式所示中的元素△t），其中 k=0,1,2,3,……。

由于基函数具有显示表达式，因此可利用公式③直接计算出热传导方程在Vj空间点的数值解。在尺度函数空间Vj空间点上求解热传导方程的步骤可分5步，具体如下：

即①选择具体的尺度j，构造Vj空间上的基函数；②选取x方向和t方向的步长h x和h t，同时对其分别进行剖分、计算，进而确定离散点的选取，可令x（i）=i*h x，将k设置为零。比如选定点为t0，则可计算循环次数K，令t（k）=k*h t，进而计算数值和的数值；③根据以上数值计算由基函数和其一阶、二阶导数构成的矩阵M0、M1、M2的数值；④根据公式③计算的值；⑤令k=k+1,若k≥K，则停止，反之则转到t（k）=k*h t阶段。

（2）算法分析。在热传导方程的基础上，上述方法在尺度函数空间V上的数值求解格式，对空间域做了有效的离散处理，成功构建其针对时间t的常微分程组，根据此方程组即可对任意空间点进行求解。而传统的有限差分方法在求解偏微分方程时，若空间分布点发生突变，则束手无策，无法保证其所求解数值的精确度和收敛性。所以，用小波法求解微分方程数值，不但承载了传统计算方法的优点，而且对于传统方法无法处理、或处理较模糊和不准确的奇异点附近亦可达到一定的精确度，另外其在稳定性上亦明显优于有限差分法，值得广泛应用。

4 结语

本文针对传统有效差分法的弊端，阐述了小波法求解微分方程数值的优势，从可解的热传导方程组，以及利用小波法求解尺度函数V空间点上求解热传导方程的步骤可以看出，利用此法可有效建立热传导方程数值的求解格式，具有减小计算量，节省内存、稳定性强、分辨率高等诸多优点，是微分方程数值求解重要方法。

[1]董晓红，邓彩霞，韩红.用小波配点法求解一类偏微分方程[J].哈尔滨理工大学学报，2006，10（4）:33-35.

[2]李荣华，冯果忱.微分方程数值解法[M].北京:高等教育出版社（第三版），2002.

[3]周涛.小波分析用于求解微分方程[D].长沙：中南大学硕士学位论文，2007.