关于《初等数论》课程改革的一些思考

晏燕雄

（重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400067）

1 《初等数论》课程的性质、目的与内容框架

1.1 课程性质

初等数论（Elementary Number Theory）课程是高等院校数学教育专业的一门专业技术课程。初等数论主要是研究整数性质的一门学科，它的理论和方法已广泛应用于现代密码学和信息科学。数学与应用数学（师范类）的学生在学习了《数学分析》、《高等代数》、《几何学》之后，学习一些初等数论的基础知识可以加深对整数性质的了解与认识，便于理解和学习后续的有关信息与编码的课程。学习数论中的最基本的理论和常用的方法，有利于强化逻辑推理和解决数学问题的能力，具有指导中学数学教学的作用。

1.2 课程目的

本课程的目的是介绍在初等数论研究中经常用到的基本概念、基础知识、基本方法和技巧。通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的理解，使学生获得关于整数的可除性、不定方程、同余及同余式，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法与技巧，使他们的数学思维能力得到训练与提高，为今后的工作与学习后续课程打下基础。

1.3 课程内容框架

主要讲解整数的整除、不定方程、同余、同余方程及简单连分数等基本理论，介绍常用的方法、技巧及一些应用。正文中带“＊”号的内容为选修内容，视教学对象及具体情况灵活处理，可讲或简单介绍或不讲。

2 开设《初等数论》课的必要性

众所周知，初等数论课程在数学竞赛中占有重要的地位。例如，从1959年至1991年的几十年中，国际数学奥林匹克竞赛总共举办了32届，总共194道数学竞赛题中，应用数论知识解题的有53题，占27.32%，这里还不包括解题中用到数论知识的题型。根据国际奥林匹克数学竞赛、前苏联、罗马尼亚、匈牙利及我国的历届数学竞赛试题的分析，主要应用初等数论知识解决的问题约占的比例为30%左右。此外，随着中学数学教育的改革，中小学的教材内容有了显著的变化，初等数论中的一些基础知识如最大公约数、最小公倍数、整数的基本性质、质数与合数的基本概念和性质、同余理论及高斯函数等都以不同形式出现在中小学的教学中。这样，师范院校初等数论课程的教学内容和教学方法都需要做出相应的调整。

我校数学系将《初等数论》列为数学教育专业必修课已有20年余年，毫无疑问这是一个明智之举。另外，我校生化系连续六年在小学教育本科专业试开设了《初等数论》选修课，为期一学期，课时总数72学时。实践表明学生完全具备了学习初等数论的知识和能力方面的要求，多年来的教学实践使我认识到:初等数论是实用性和方法性都很强的一门基础学科，它对于开发学生思维，提高数学竞赛的教练水平有着重要意义和指导作用。

3 教学内容及课时安排

结合自己多年的教学实践经验，并考虑到学生实际情况，针对知识的系统性和实用性两方面就初等数论的教学内容和课时安排，制定如下教学计划:

3.1 课时分配情况

章教学内容 讲授1整数的整除性 28同余 163同余方程 104不定方程 125简单连分数 6合计 722

3.2 教学内容安排

第一章 整数的整除性

（讲授28学时，习题课5学时）

1.1 整除的基本概念与带余除法；

1.2 最大公因数与最小公倍数；

1.3 质数与合数；

1.4 算术基本定理；

1.5 数的进位制；

1.6 Gauss函数；

1.7 抽尼原理

本章的多数内容在中小学阶段接触过，并且整数的整除性理论与多项式理论基本上是一致的，因而略讲。本章的重点是整除、公因数、素数的概念及性质，带余除法及辗转相除法，求最大公因数的方法，整数的素数分解定理，函数［x］、｛x｝的概念及其应用；难点是函数［x］、｛x｝的概念及其应用。

第二章 同余

（讲授16学时，习题课4学时）

2.1 同余的基本概念及其基本性质；

2.2 剩余类与剩余系；

2.3 Euler定理与 Fermat定理；

2.4 循环小数。

本章的学习过程中要求了解整数同余的概念及同余的基本性质，会利用同余简单验证整数加减乘积运算的结果；理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断完全剩余系、简化剩余系的方法；掌握欧拉函数的定义及基本性质；熟练掌握Euler定理、Fermat定理在解决实际问题中的应用。学习的重点是剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，难点是剩余系的判定。

第三章 同余方程

（讲授10学时，习题课2学时）

3.1 一次同余方程；

3.2 一次同余方程组。

代数学中的一个主要问题就是求解代数方程，这不仅要求我们要对代数方程是否有解、有解的条件及如何求解做出回答，而且尽可能的情况下给出问题的求解公式。本章讨论的问题与此类似，即求解同余方程。主要研究一次同余方程和方程组的求解问题。学习的重点是中国剩余定理，求解三次以下的同余式，难点是中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的关系。

第四章 不定方程

（讲授12学时，习题课2学时）

4.1 二元一次同余方程；

4.2 多元一次同余方程组；

4.3 商高不定方程。

不定方程是初等数论中最古老的一个分支，也是数论一个十分重要的研究课题。不定方程又称之为丢番图方程，是公元三世纪初，古希腊数学家丢番图曾经系统研究了一些不定方程问题。我国古代对不定方程的研究也很早，且研究的内容也非常丰富，在世界数学史上占有不可忽略的地位。例如《周髀算经》中的商高定理“勾三股四弦五”，《张丘建算经》中的“百钱买百鸡问题”及《孙子算经》中的“物不知其数问题”等等，驰名中外，影响深远。本章的学习重点是二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，求二元一次不定方程的解的方法；难点是不定方程x2＋y2＝z2的整数解的形式。

第五章 连分数

（讲授6学时，习题课2课时）

5.1 连分数的基本性质；

5.2 有限连分数与有理数；

5.3 无限连分数与无理数；

5.4 二次不定方程

本章主要内容及重难点是有限连分数与有理数互化；无限连分数、渐近连分数、循环连分数、无理数与无限连分数的互化及应用；证明任一实数均可以用有限或无限连分数表示。

4 关于教学中的一些问题

除了教学《初等数论》的基本内容，还应适时向学生介绍一些数论中的著名问题的起源和发展过程。如Fermat猜想，Fermat数，哥德巴赫猜想，孪生素数，完全数和几乎半完全数，Mersenne数，亲和数等，让学生了解一些数论课程发展的过去和现状，利于拓宽知识视野。

介绍我国古代和现代的数学家们对数论这门学科发展所作出的突出贡献。例如在讲解不定方程时，介绍世界上最早研究不定方程的是我国的《周髀算经》，比古希腊数学家丢番研究不定方程还要早二百多年；另外《孙子算经》也是世界上最早提出同余方程的研究巨著；讲授奇数、偶数及质数时，介绍我国著名数学家华罗庚、陈景润、潘承桐及王元等对数论发展做出的突出贡献。

教学中应该充分利用网络资源。例如，可在网站上提供授课的教学计划和教学内容，提供习题及相应的解答，对课程的某些内容可以适当拓宽。

合理利用多媒体教学。多媒体辅助教学手段是现代课堂教学的一个显著特点，它极大地缓解了课堂教学课时数的不断减少这一矛盾，也彻底改变了传统教学模式中的“教师一支粉笔，一张嘴巴满堂灌”这一教学模式，并提高了教师的课堂教学效果。实践表明，初等数论课程的多媒体教学深受学生的认同和欢迎。

以上内容是我在多年的《初等数论》课程教学中的一些想法和做法，可能会还有许多不足之处，在此提出来以便和同行们共同交流和探讨，其目的是通过大家的共同努力，把这门新设置的课程开好，以便能建立起一个良好的更加符合实践的初等数论课堂教学的新模式。

［1］闵嗣鹤，严士健.初等数论［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京:北京大学出版社，1992.

［3］原新生.突出师范特色，改革初等数论教学［J］.河南:教育与职业学报，2006，（8）:99－100.

［4］汤敏.关于初等数论课堂教学的思考［J］.安徽:高师理科学刊，2010，30（1）:88－90.

［5］高显文.关于《初等数论》选修课的一些思考［J］.邵通师专学报，1992（11）:30－31.

［6］晏燕雄，我国初等数论课程教学改革的必要性及途径［J］.重庆:西南师范大学学报（自然科学版），2012，（4）:217－220.

［7］晏燕雄.初等数论教学改革的实践与思考［J］.重庆教育学院学报，2011，（6）:21－24.