简谈整点多边形的存在性问题

●黄新民 (温州市教育教学研究院 浙江温州 325000)

0 前言

在方格纸上画一个格点正方形(正方形的顶点在方格顶点上)，操作较简单.如果要在方格纸上画出一个格点正五边形或格点正六边形，请认真思考一下，动手画一画.

组合几何是一个新兴的数学分支，主要研究几何元素的组合问题，其内容丰富多彩.许多组合几何问题因其表述直观而独具魅力，它是目前初等数学中一个活跃的研究课题，整点问题是其中的一部分内容.关于整点多边形的存在性问题有过许多研究，见文后所附的参考文献.本文对整点多边形存在性问题的研究作一综述，主要介绍整点多边形存在性研究的一些结果及其在三维空间中的推广，并提出关于整点多边形在三维空间中存在的一个猜想.

1 关于整点多边形存在的一些结论

定义1 在平面直角坐标系中，把顶点坐标都是整数的多边形称为整点多边形，也称为格点多边形.

整点正多边形的存在性问题已解决(见文献［2］，［6］，［7］)，结论是：

定理1 在平面直角坐标系中，不存在整点正n(n≠4)边形.

若把条件放宽，去掉“等边”，保留“等角”，再来观察是否有整点等角n边形存在，文献［5］回答了该问题：

图1

定理2 在平面直角坐标系中，不存在整点等角 n(n∈N 且 n＞2，n≠4，n≠8)边形.

文献［9］进一步推广：

定理3 不存在其中一个角等于r°(r为有理数且 r≠45，90，135)的整点多边形.

定理3表明一个多边形是否为整点多边形，与其内角度数是否为有理数密切相关.若其中一个内角度数为有理数但又不是45的整数倍，那么这个多边形肯定不是整点多边形.由此可见，整点多边形是否存在，与它是否等角无关.因此，可以去掉“等角”这个条件，考虑“等边”的情形.

除菱形外，是否还存在其他的整点等边多边形呢?答案是肯定的.在平面直角坐标系中可以画出整点等边六边形、整点等边八边形等，如图2和图3所示.

图2

图3

试画整点等边五边形、整点等边七边形等，发现总是不成功.猜想它与边数的奇偶性有关，文献［4］证明了：

定理4 在平面直角坐标系中，存在整点等边2n边形.

定理5 在平面直角坐标系中，不存在整点等边2n+1边形.

对于一般的多边形，边长满足什么条件时，它是整点多边形?这个问题很难回答，有待进一步研究.下面给出2个新的结论：

根据定理 7，当 k=1，2，3，4，5，…时，即可得到一系列边长为连续自然数的整点三角形(3，4，5)，(13，14，15)，(51，52，53)，(193，194，195)，(723，724，725)，…

2 三维空间中的推广及猜想

定义2 在三维空间直角坐标系中，把顶点坐标都是整数的多边形叫做整点多边形.

定理5在三维空间里能否推广?换言之，在三维空间中，是否存在整点等边2n+1边形?当边长取，时，可以分别构造出整点等边三角形，如图4和图5所示.

图4

图5

注图5中的正方体棱长为2，点A，B，C分别是3条棱的中点.

定理8［12］在三维空间中，不存在边长为的整点等边2n+1边形，其中a为奇数.

定理9［12］在三维空间中，存在边长为的整点等边2n+1 边形，其中 a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N).

进一步思考，若a为偶数，但不满足条件“a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N)”，是否可以构造出边数为奇数的整点等边多边形呢?

可见，定理9中的条件还可以削弱，有兴趣的读者可以作进一步研究.在这里，笔者提出一个猜想：

猜想在三维空间中，若偶数a可以表示成2个正整数的平方和或者3个正整数的平方和，则一定存在边长为的整点等边2n+1边形.

图6

［1］ 柯召，孙琦.初等数论100例［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［2］ 严镇军.从正五边形谈起［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［3］ 黄新民.整点多边形的存在性问题［M］.杭州：浙江教育出版社，2010.

［4］ 黄新民.整点多边形存在性问题［M］.中国初等数学研究文集.郑州：河南教育出版社，1992.

［5］ 胡敬民.整点等角形问题［J］.丽水师专学报(自然科学版)，1984(1)：17-18.

［6］ 朱时.整点正多边形问题［J］.厦门数学通讯，1981(2).

［7］ 顾忠德.整点正多边形问题的推广［J］.厦门数学通讯，1983(3).

［8］ 刘根洪，汤正谊.整顶点多边形所围整点个数的讨论［J］.中学数学月刊，2004(2)：25-28.

［9］ 黄新民.有理角度正切函数值的无理性与整点多边形问题［J］.数学函授，1986(3).

［10］ 黄新民.整点多边形问题在n维空间中的推广［J］.温州师范学院学报(自然科学版)，1996(3)：24-27.

［11］ 黄新民.边长为连续自然数的整点三角形存在性问题［J］.中学教学杂志，1996(3).

［12］ 黄新民.整点等边多边形问题在三维空间中的推广［J］.中学教研，2002(2)：25-26.