探析如何利用导数解决实际问题中的“优化”问题

☉云南省昆明市第十中学 刘喜全

在实际生活中的优化问题一般为利润最大、用料最省、效率最高等问题.这类优化问题可归结为求函数的最值问题，导数正是求最值的有力工具，利用导数处理优化问题的基本思路是将题目中的实际问题转化为数学问题进行求解.笔者通过对几道试题的评析谈谈如何灵活运用导数处理实际问题中的优化问题，以飨读者.

例1 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧A（B上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x，则BC2=400-x2，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；当垃圾处理厂建在A（B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数.

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧A（B上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.

当x=

令y′=0，得18x4=8（400-x2）2，所以x2=160，即x=4时，18x4＜8（400-x2）2，即y′＜0，所以函数为单调减函数，当＜x＜20时，18x4＞8（400-x2）2，即y′＞0，所以函数为单调增函数.所以当x=4时，即当C点到城A的距离为时，函数y=（0＜x＜20）有最小值0.065.

点评与反思：本题是2009年山东高考试题，主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及换元法、基本不等式法和转化思想的考查.解题关键是根据题意列出函数不等式，然后利用导数求最值.利用导数求解实际问题的最值的一般步骤为：①认真分析实际问题的各量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x的关系式y=f（x） ，根据实际意义确定函数的定义区间；②求解y=f（′x）=0所有的根；③具体判断得出结果，将所得结论还原为实际问题的意义.

点评与反思：本题是由课本题目改编，解题的关键是如何建立y与θ、x之间的函数关系，此时往往先通过已知条件找出θ与x之间的关系，从而将这两个变量转化为一个变量后，再寻找剩下的这个变量与y之间的关系，从而建立目标函数再利用导数求其极值.利用导数解有关最值的实际问题，难点在于如何根据实际问题，建立合适的函数关系即建立目标函数；如果函数中有几个变量，则可以通过问题中的辅助的条件消去部分变量，最后成为一个一元函数，再通过导数进行求解.在解题过程中要特别注意：根据问题的实际意义给出所选定自变量的定义域.

导数在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用，导数是在生产技术和自然科学的需要中产生，同时也促进了生产技术和自然科学的发展，导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、有效的工具之一.从近几年的全国各地的高考试题和平时的高三模拟试题中可以清楚地看出利用导数知识解决实际问题中优化问题已成为命题的热点和难点.这就要求一线的高中数学教师在平时的课堂教学中注重对这方面能力的培养.