2012年高考数学江苏卷解析几何题别解

2012-08-27 02:55江西省赣县中学南校区朱红喜
中学数学杂志 2012年17期
关键词:对称点极坐标斜率

☉江西省赣县中学南校区 朱红喜

(1)求椭圆的方程;

(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(ii)求证:PF1+PF2是定值.

(2)(i)如图1,设点B关于原点O的对称点为B′,连接F1B′,则四边形BF1B′F2为平行四边形.由AF1平行BF2,得A、F1、B′三点共线.

解法1:设A(x1,y1),B′(x2,y2).由椭圆的焦半径公式知

故x1-x2=,也因此知AB′的斜率存在且大于0.

设其斜率为k,则AB′的方程为y=k(x+1).

整理得12k4+4k2-5=0,

解法2: 设F1为极点,F1F2所在直线为极轴,∠F2F1A=θ,AF1=ρ1,B′F1=ρ2,则由圆锥曲线的统一极坐标方程得

(2)(ii)解法1:由(2)(i)中解法2中的圆锥曲线统一极坐标方程,

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