等离子体模型中Poisson方程解的存在唯一性*

2012-12-17 09:42耿金波
关键词:方程解边值问题方程组

耿金波

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004)

0 引言

文献[1-4]对Euler-Poisson方程组的模型来源都有详细的介绍.本文考虑一维双极型Euler-Poisson方程组

式(1)中:x∈R3;u(x)∈R3;ρ是粒子密度;u为粒子速度;λ为德拜常数;C(x)为杂质的密度;Φ为电势.

彭跃军在文献[5]中利用Lax-Friedrichs格式和Godunov格式得到了方程组(1)的全局弱熵解的存在性;Natalini在文献[6]中得到了方程组(1)弱熵解的存在性;文献[7]研究了方程组含有松弛时间的双极型等熵Euler-Poisson方程组解的存在性及零松弛时间的极限.

本文运用压缩映像原理得到方程组(1)中的Poisson方程的解的存在性,使Euler-Poisson方程组化为双曲守恒律方程组,其主要结果为:

定理1 方程组(1)中的Poisson方程的边值问题

的解存在并且唯一.

1 引理

为了研究的方便,不妨假设方程组(1)中的λ=1,C(x)=1.

首先考虑下面的边值问题:

其中,g∈L1∩BV.可验证T0(g)(x)是问题(3)的解.为了得到本文结论,需要下面几个引理.

引理1 设g∈L1∩BV,则

其中,常数C0与g无关.

证明 由g∈L1∩BV知

所以由控制收敛定理知

显然,

进而得到

由式(4)和式(5)可得引理1的结论.引理1证毕.

下面考虑非线性映射

并记

其中,C0由引理1给出.

引理2 存在 δ0>0,使得当0 <δ<δ0时,TXδ⊆Xδ.

证明 任取Ψ∈Xδ,由嵌入定理[8]知:存在与Ψ无关的常数C1,满足

于是由引理1知

注意到f(Ψ)-Ψ=O(1)Ψ2,从而 limx→±∞T(Ψ)(x)=0.最后,在式(6)中取 δ充分小,使得 TXδ⊆Xδ.引理2证毕.

引理3 存在 δ0>0,使得当0 < δ< δ0时,T 在(Xδ,‖·‖W1,1)上为压缩映射.

证明 任取 Ψ1,Ψ2∈Xδ,有

应用引理1,可得

于是,在式(8)中取适当的δ,便可得到结论.引理3证毕.

大陆村到古辣镇上只用40分钟的车程,交通条件的改善,将为大陆村信息、物资的流通奠定良好的基础,便于人口的集聚,有利于旅游地产的发展。

引理4 存在 δ0>0,使得当0<δ<δ0时,存在唯一的 Φ ∈Xδ,有TΦ=Φ.进一步

证明 显然,由Banach压缩映像原理可以得到Φ的存在性.下面证明式(9)成立.由引理1可知

再次利用引理1得

同理

上述2个估计需要用到如下不等式:

于是在式(11)和式(12)中取适当的δ,使得O(1)δ<1,得到

引理4证毕.

2 定理1的证明

由引理4知,Φ=TΦ,Φ∈Xδ给出了方程组

在Xδ上的唯一解.定理1证毕.

3 结语

定理1的证明是运用古典的压缩映像原理,对等离子体模型中的椭圆型方程解的存在性和唯一性进行了研究,它为进一步研究等离子体模型方程奠定了理论基础.

[1]李定,陈银华,马锦秀,等.等离子体物理学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]王德焴,吴德金,黄光力.空间等离子体中的孤波[M].上海:上海科技教育出版社,2000.

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