非对称近似恒同网络的近似同步*

张优优， 赵晓华

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

近年来，复杂网络的同步问题已经引起了诸多领域研究者的广泛关注［1-12］．如何使网络节点的运动同步化是一个令人很感兴趣的课题．

与对称恒同网络相比，非对称近似恒同网络更具普遍性，也更符合实际情况，而不可对角化近似恒同网络则更具代表性，更值得深入研究．文献［10-12］用主稳定函数法研究了非对称恒同网络的局部同步;文献［9］得到了对称近似恒同网络近似同步的判据．本文将主稳定函数法作了推广，研究了非对称近似恒同网络的近似同步问题．

考虑系统

1 推广的主稳定方程与近似同步判定

方程(3)也可写成矩阵乘积形式

式(4)和式(5)中，LT表示矩阵L的转置矩阵．根据文献［10］，矩阵L与矩阵L的特征值是完全相同的，其中一个为0，不妨记为 λ1=0，相应的特征向量为(1，1，…，1)T．

系统(1)在耦合矩阵L可对角化的情况下，近似同步已有研究［9］．本文讨论L不可对角化的情况．根据矩阵理论知识，存在可逆矩阵P将矩阵L化为Jordan标准型，即

记 η =ξ(P－1)T，方程 (4)转化为

方程(6)称为系统(1)的主稳定方程．

Jordan 块 Bi∈Rki×ki，对应 η 的相应分量记为 ηr+1，ηr+2，…，ηr+ki，正整数 r表示前 i－1 个 Jordan 块的总维数，记 P－1=(pij)N×N，h=(h1，h2，…，hN)表示参数偏差向量，则方程(6)对应于 Jordan 块 Bi的子方程组为

式(8)中：y=(ηr+1，ηr+2，…，ηr+ki);a=(ar+1，ar+2，…，ar+ki);b=(br+1，br+2，…，br+ki)．每一个 Jordan 块Bi对应的子方程都具有式(8)形式，因此，通过Jordan变换P，就可将对N×m维的主稳定方程(6)的分析转化为对ki×m维的子方程的分析．尽管已经进行了简化，但与不可对角化恒同网络情况相比，主稳定方程(8)又增加了非齐次项b(t)．

由方程(8)的结构可以看到，这是一个非齐次线性微分方程组．为了分析它的稳定性，先考虑对应的齐次方程

方程(9)在形式上与文献［8］中的主稳定方程完全相同，所以当时间t→∞时，η按指数率趋于0当且仅当最大 Lyapunov指数 Lmax(σλ)＜0．下面假设 σλi所对应的最大 Lyapunov指数 Lmax(σλi) ＜0，i=2，3，…，l．记 Φ(t，σλ)是方程(9)的基本解矩阵，则对 t≥t0，存在依赖这些 σλi的正常数 β，γ，使得对 i=2，3，…，l，有不等式

为了书写方便，以下Φ(t，σλ)关于σλ的依赖关系不再明示．

对于方程组(8)，每一个子方程都具有相同的形式，它们的解可以统一表示为

从而利用不等式(10)可得

定理1 若网络系统(1)满足下列条件：

1)方程(8)对应的齐次方程(9)指数稳定，即最大Lyapunov指数为负;

2)内联函数向量H及孤立节点向量场f使得DH和Dvf有界．

则只要参数偏差充分小，系统(1)可以达到近似同步状态．

2 数值例子

下面将给出具体例子说明上述关于非对称近似恒同网络局部近似同步判定定理1的应用．考虑孤立节点处的动态方程为Lorenz方程，并由4个节点构成的非对称近似恒同网络

图1 网络结构图

本例的网络结构如图1所示．连接矩阵A=(aij)、权重矩阵W=(wij)及相应耦合矩阵L=(aijwij)为：

则矩阵L、Jordan变换P及Jordan标准形分别为：

根据式(14)～式(16)的齐次方程，最大Lyapunov指数作为σλ的函数分别记为L1(λ=1)，L2(λ=4)，它们在文献［8］中也称为主稳定函数．

由图2可知，只要网络耦合强度σ取适当值(例如σ=1)，则L1(σ)＜0，L2(4σ)＜0，满足定理1的第1个条件．图3显示平均轨道x(t)是有界的，易验证定理1的第2个条件也满足．

图2 齐次系统的2个主稳定函数：L1(λ=1)，L2(λ=4)

若取近似同步的定义中的常数C=5，则图3显示，当 σ=1时，L1＜0，L2＜0，系统(13)可达近似同步;图4 显示，当 σ =0．5 时，L1＞0，L2＜0，系统(13)不能达到近似同步．

图3 节点有不同参数偏差hi的系统(13)的近似同步状态

图4 当σ=0．5时，系统(13)状态第1个分量xi1(i=1，2，3，4)及xi1－X随时间的演变

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