广义morphic环的注记

谢明文，宋贤梅

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

广义morphic环的注记

谢明文，宋贤梅

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

环R称为左广义morphic的，如果对任意的a∈R，存在b∈R使得l（a）≅R/Rb，其中l（a）表示a在R中的左零化子.右广义morphic环可以类似的定义.证明了右广义morphic环R是左拟morphic环当且仅当R是左广义morphic右P－内射的.此外通过平凡扩张给出了广义morphic环一些新的例子.

广义morphic环；P－内射环；拟morphic环

0 引 言

Morphic环是由Nicholson和Campos引入并研究［1］.Chen和Zhou研究了更多有关morphic环的性质［2－5］.环R称为左morphic的，如果对任意的a∈R，有R/Ra≅l（a），等价于对每个a∈R，存在b∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rb.在文［6］中Camillo和Nicholson又介绍了左拟morphic环.R称为左拟morphic环，如果对任意的a∈R，存在b，c∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rc.Zhu和Ding在文［7］中介绍了广义morphic环，这种环是左拟morphic环的推广.环R称为左广义morphic环，如果对每个a∈R，都存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.

在此主要讨论更多关于广义morphic环的性质.在第二部分中，笔者研究了广义morphic环，P－内射环和拟morphic环的关系.证明了如果R是右广义morphic环，那么R是左广义morphic右P－内射的当且仅当R是左拟morphic环.但是广义morphic环和P－内射环之间没有必要的联系.在第三部分里，研究了由环R及R上的双模M构成的扩张R∝M在何种情况下是左广义morphic的.例如当n≥2时，Zn∝Zn是广义morphic的当且仅当n是不同素数的乘积；若T＝R∝V，其中R是整环，V是R上的非零双模，则T∝T不是广义morphic的.一些关于morphic环的已知结果是文章结果的推论.最后一部分，证明了环R［D，C］是左广义morphic环当且仅当下面的两个式子成立：（1）D是左广义morphic环；（2）对任意的x∈C，存在y，z∈C使得lC（x）＝Cy，lC（y）＝Cz，lD（x）＝Dy和lD（y）＝Dz.

文章中的环均指有单位元的结合环，所有的模也均有单位元.下面回忆一些基本的定义和记号.设R是环，J（R）表示R的Jacobson根，R的子集X的左（右）零化子记为lR（X）（rR（X））或者简记为l（X）（r（X）），特别当X＝x时，写成l（x），r（x）.（1）a∈R称为左拟morphic的，如果存在b，c∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rc.R称为左拟morphic环，如果R中的每个元素均是左拟morphic的.若R是左右拟morphic环，则R是拟morphic环.（2）a∈R称为左广义morphic的，如果存在b∈R使得l（a）≅R/Rb.若R中的每个元素均是左广义morphic的，则称R是左广义morphic环.若R是左右广义morphic环，则R是广义morphic环.（3）R称为右P－内射环［8］，如果对任意a∈R，aR到R的同态均可扩张到R到R的同态，等价于lr（a）＝Ra.（4）R称为半交换环［9］，若对任意的a，b∈R，由ab＝0，可推出aRb＝0.（5）R称为左Kasch环［6］，若每个单左R模能够嵌入在R中，等价于对每个（极大）左理想L≠R，r（L）≠0.

1 广义morphic环

在文［7］中证明了R中元素a是左广义morphic的当且仅当存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.应用这个结果，得到了下面的命题.

命题1设R是环.若a∈R是左广义morphic元，u∈R是单位，则ua和au也是左广义morphic元.

证明依题意存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.则l（ua）＝l（a）u－1＝（Rb）u－1＝R（bu－1），l（bu－1）＝l（b）＝Rc，因此ua是左广义morphic元.又因为l（au）＝l（a）＝Rb，l（b）＝Rc，所以au也是左广义morphic元.

众所周知，左morphic环中的左理想是主理想，对左广义morphic环也有类似的结论.

命题2若R是左广义morphic环，则R的两个左零化子的交是主左理想.

证明对任意的a，b∈R，依题意，存在x∈R使得l（b）＝Rx和y∈R使得l（xa）＝Ry.下面证明l（a）∩l（b）＝R（yx）.对任意的w∈l（a）∩l（b），存在r∈R使得w＝rx和r＝r′y，其中r′∈R.因此w＝r′yx∈R（yx）.显然R（yx）⊆l（a）∩l（b），得证.

命题3若R是左广义morphic的左Kasch环，则R的每个极大左理想是主左理想.

证明设M是R中的极大左理想.由于R是左Kasch环，于是存在X⊆R使得M＝l（X）.而M≠R，因此X≠｛0｝，即有一个非零元素a∈X，使得l（X）⊆l（a）≠R.故存在b∈R使得M＝l（a）＝Rb，得证.

在文［6］中证明了每个左拟morphic环是右P－内射环.由定义可知每个左拟morphic环是左广义morphic环.于是要问若R既是左广义morphic环又是右P－内射环，R是左拟morphic环吗？对于这个问题，给出了下面的定理.

定理1设R是右广义morphic环.则R是左拟morphic环当且仅当R是左广义morphic右P－内射的.

证明只需要证明充分性.设R是左广义morphic右P－内射的.则对每个a∈R，存在b，c∈R使得l（a）＝Rb和r（a）＝cR.于是Ra＝lr（a）＝l（cR）＝l（c），因此R是左拟morphic环.

（2）右P－内射环R不一定是左广义morphic环.比如R＝Z4C2，其中，C2＝｛1，g｝是二阶群.由［6］知R是右P－内射的.令，于是l（x）＝J（R），但由文［1］中的例36可知J（R）不是主左理想.因此，R不是左广义morphic环.

下面结论可直接验证.

命题4设Ri（1≤i≤n，i∈N＋）是环的集合，则R1×R2×…×Rn是左广义morphic环当且仅当每个Ri是左广义morphic环.

2 广义morphic环的扩张

易知Zn是左广义morphic环.进一步地，有如下的命题.

命题5若m，d是正整数，n＝md，d＞1，则下面的命题等价：

（1）Zn∝Zd是morphic的.

（2）Zn∝Zd是广义morphic的.

（3）gcd（m，d）＝1，d是不同素数的乘积.

证明由文［2］中的定理8可知（1）⇔（3）.（1）⇒（2）是很显然的.因此只需证明（2）⇒（3）.

对任意的n≥1，由命题5可知Zn∝Zd是广义morphic的当且仅当n是不同素数的乘积，因此Z6∝Z6是广义morphic的，但是Z4∝Z4不是广义morphic的.

定理2设T＝R∝V是整环R与R上的非零双模V的扩张.则T∝T不是左广义morphic的.

证明令S＝T∝T.取x＝（0，v）∈T，其中0≠v∈V，则x≠0.下面证明（0，x）不是S中的左广义morphic元.

假设（0，x）是S中的左广义morphic元.则存在（b，c）∈S使得l（（0，x））＝S（b，c）.由于（0，1）∈l（（0，x）），所以存在（u，v）∈S使得（0，1）＝（u，v）（b，c）.于是ub＝（0，0）∈T且uc＋vb＝（1，0）∈T.令u＝（u0，u1），v＝（v0，v1），b＝（b0，b1）和c＝（c0，c1），其中u0，v0，b0，c0∈R，u1，v1，b1，c1∈V.则u0b0＝0∈R，u0c0＋v0b0＝1∈R.若b0＝0，则u0c0＝1，得u0是R中的单位，因此u是T中的单位且b＝0.易知（x，0）∈l（（0，x））＝S（0，c），得x＝0，矛盾，因此b0≠0.因为R是整环，所以有u0＝0，得v0b0＝1，即b0是R中的单位，b是T中的单位，且（b，c）是S中的单位.由于l（（0，x））＝S（b，c），于是（0，x）＝（0，0）.这与x＝（0，v），v≠0矛盾.

下面的命题说明了，当R是半交换的左广义morphic环时，R∝R中的某些元素是左广义morphic的.

命题6若R是半交换环，a∈R.则下面的命题等价：

（1）a∈R是左广义morphic元.

（2）（a，0）∈R∝R是左广义morphic元.

（3）（a，a）∈R∝R是左广义morphic元.

证明令T＝R∝R.易知（1，1）是T中的单位.且（a，a）＝（a，0）（1，1），由命题1可知（2）⇔（3）.

（1）⇒（2）由（1）知存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.下证l（a，0）＝T（b，0）.事实上，T（b，0）⊆l（a，0）是显然的.反过来，对任意的（x，y）∈l（（a，0）），有（xa，ya）＝（x，y）（a，0）＝0，得xa＝ya＝0.于是x＝r1b，y＝r2b，其中r1，r2∈R.因此（x，y）＝（r1b，r2b）＝（r1，r2）（b，0）∈T（b，0）.故l（a，0）⊆T（b，0）.类似可证l（（b，0））＝T（c，0）成立.因此（a，0）∈T是左广义morphic元.

（2）⇒（1）若（a，0）∈T是左广义morphic元，则存在（b，b′），（c，c′）∈T使得l（（a，0））＝T（b，b′），l（（b，b′））＝T（c，c′）.

首先证l（a）＝Rb.对任意的x∈l（a），有（x，0）∈l（（a，0））＝T（b，b′），即存在（r，r′）∈T使得（x，0）＝（r，r′）（b，b′）＝（rb，rb′＋r′b），于是x＝rb∈Rb.这说明l（a）⊆Rb.反包含也显然的.

再证l（b）＝Rc.只需证明l（b）⊆Rc.由于b′a＝0，于是存在t∈R使得b′＝tb.对任意的y∈l（b），有yb＝0，因此yb′＝ytb＝0.又因为R是半交换的，所以（y，0）（b，b′）＝（yb，yb′）＝（0，0）成立.进而存在（s，s′）∈T使得（y，0）＝（s，s′）（c，c′）成立，故y＝sc∈Rc.

3 R［D，C］环的广义morphic性

设D是环，C是D的子环.则

也是一个环，并且是D×D×…的子环［3］.由文［7］中的引理2.2可知，环R是左广义morphic的当且仅当对任意的a∈R，存在b∈R使得l（a）＝Rb.

定理3R［D，C］是左广义morphic环当且仅当满足下面的两个条件：

（1）D是左广义morphic环.

（2）对任意的x∈C，都存在y∈C使得lC（x）＝Cy，lD（x）＝Dy.

证明令R＝R［D，C］.

（⇒）（1）对任意的a1∈D，令a＝（a1，0，0，…）∈R.则存在b＝（b1，…，bn，b′，b′，…）∈R使得lR（a）＝Rb.则容易验证lD（a1）＝Db1.因此D是左广义morphic环.

（2）对任意的x∈C，令a＝（x，x，…）∈R.则存在b＝（b1，…，bn，y，y，…）∈R使得lR（a）＝Rb.于是Cy⊆lC（x），Dy⊆lD（x）.另一方面，对任意的s∈lC（x），t∈lD（x），令d＝（s，s，…），m＝（m1，…，mn，mn＋1，0，0，…），其中m1＝…＝mn＋1＝t，则有d，m∈lR（a）＝Rb.因此s∈Cy，t∈Ty.所以lC（x）⊆Cy，lD（x）⊆Dy.

（⇐）令a＝（a1，…，an，x，x，…）∈R.由（1）和（2）知，存在bi∈D，i＝1，2，…，n和y∈C使得lD（ai）＝Dbi，lC（x）＝Cy，lD（x）＝Dy.令b＝（b1，…，bn，y，y，…）.下证lR（a）＝Rb.首先，Rb⊆lR（a）是显然的.反之，设s＝（s1，…，sm，k，k，…）∈lR（a）.可以假设m≥n，于是siai＝0，i＝1，2，…，n，sjx＝0，j＝n＋1，…，m，kx＝0.因此存在di∈D，i＝1，2，…，n和c∈C使得si＝dibi，i＝1，2，…，n，sj＝djy，j＝n＋1，…，m，k＝cy.故s＝（d1b1，…，dnbn，dn＋1y，…，dmy，cy，…）＝（d1，…，dm，c，c，…）b∈Rb，所以lR（a）⊆Rb.

推论R［D，D］是左广义morphic环当且仅当D是左广义morphic环.

［1］Nicholson W K，Campos E S.Rings with the dual of the isomorphism theorem［J］.J Algebra，2004，271（1）：391－406.

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［8］Nicholson W K，Yousif M F.Principally injective rings［J］.J Algebra，1995，174（1）：77－93.

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Notes on Generalized Morphic Rings

XIE Ming－wen，SONG Xian－mei

（College of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

AringRis called left generalized morphic ring，if for every elementa∈R，l（a）≅R/Rbfor someb∈R，wherel（a）denotes the left annihilator ofainR.Right generalized morphic rings can be defined analogously.It is proved that a right generalized morphic ringRis left quasi－morphic if and only if it is left generalized morphic and rightP－injective.Moreover，the paper provided new examples of generalized morphic rings by trivial extension.

generalized morphic ring；P－injective ring；quasi－morphic ring

O153.3 MSC2010：16N60

A

1674－232X（2012）02－0169－05

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.02.015

2011－09－16

安徽省教育厅重点科研项目（KJ2010A126）；安徽师范大学校专项基金项目（2008xzx10）.

宋贤梅（1977—），女，副教授，博士，主要从事环模理论与同调代数研究.E－mail：sxmsgj＠yahoo.com.cn