均质球体在半圆形凹槽中的运动分析
——一维方向可自由移动的半圆形凹槽的情形

柳正伟 刘应开

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650092)

均质球体或圆柱体在固定的半圆形凹槽内的微振动问题常常在一些理论力学的教材[1～3]中出现.解决这类问题时，一般假设均质圆柱体或球体在固定的半圆形凹槽内做无滑滚动，用分析力学的方法导出其运动微分方程,然后求出微振动周期.如果均质圆柱体或球体在非固定的半圆形凹槽内运动，且其运动不是微振动，在计算中就会涉及到做无滑滚动的临界角大小，振动周期公式为何形式等问题，本文对这些问题进行分析、计算和讨论，以期给出完整、全面的结果.

1 均质球体和半圆凹槽的运动微分方程

图1 均质球体做无滑滚动的示意图

图2 均质球体的受力示意图 图3 半圆形凹槽受力示意图

凹槽的重力m2g和水平面对凹槽的支持力是一对平衡力,未在图中画出.根据m2的受力情况和约束情况可知，凹槽m2只能在光滑水平面上做一维方向上的自由移动，以水平面为参考系，取水平向右为x轴的正方向，并设凹槽的加速度为am2x，由牛顿第二定律可得

m2am2x=FNsinθ-Ffcosθ

(1)

取半圆形凹槽为参考系，均质球体受惯性力为f*=-m1am2x作用，根据质心运动定理和绕质心轴的转动定理可得

FN-m1gcosθ+m1am2xsinθ

(2)

-m1gsinθ-m1am2xcosθ+Ff

(3)

(4)

由于假设均质球体在半圆形凹槽内做无滑滚动，因此，有无滑滚动条件[4]

(5)

(6)

2 均质球体在非固定圆形凹槽内做无滑滚动的临界角

(7)

(8)

(9)

(10)

FN=

(11)

均质球体在半圆形凹槽内做无滑滚动时，球体和凹槽面之间相互作用的摩擦力做功之和为零，所以，系统的机械能守恒，OC连线偏离竖直方向向右和向左的角度最大均为θ0，即θ0为角振幅.由于

考虑到在±θ0处，静摩擦力|Ff|与正压力FN及静摩擦因数μ0应该满足|Ff|≤μ0FN，因此由式(9)、(11)可得

于是有

(12)

设均质球体相对与半圆形凹槽面做无滑滚动的临界角为θc，那么就有

3 均质球体的振动周期

3.1 振动周期的精确解

均质球体与非固定的半圆形凹槽组成的系统,在水平方向不受力的作用，系统的动量守恒，因此,在做无滑滚动的条件下，均质球体与半圆形凹槽所做的运动均为周期运动，且振动周期相同，可将均质球体的振动周期表述为整个系统的振动周期.

由于

令

于是有

(13)

那么,球体的振动周期就可以表示为

(14)

式(14)即为均质球体在一维方向可自由移动的半圆形凹槽内,做大角度振动时周期的精确公式，式中

(15)

3.2 m2≫m1时均质球体的振动周期公式

当半圆形凹槽固定时，假设均质球体在半圆形凹槽内做无滑滚动，用分析力学的方法,导出均质球体的运动微分方程为

解方程可得均质球体做大角振动的振动周期T为

(16)

其中

当m2≫m1，k′=0，由式(14)可以得到

(17)

可见式(16)、(17)完全一样，此时积分为第一类椭圆积分，可通过查椭圆积分表求出周期.即当m2≫m1时，均质球体的振动周期回归到了半圆形凹槽固定的情况下球体的振动周期.从而,验证了均质球体在一维方向可自由移动的半圆形凹槽内做大角度振动的振动周期精确公式(14)的正确性.

过函数曲线两端点作直线 (图4中虚线)，设所作直线的纵坐标为r(φ,θ0)，则

(18)

图4 f(φ,k)和r(φ,θ0)与φ的关系曲线图

根据分析，用r(φ,θ0)代替f(φ,k)，那么,由式(14)可以得

将ω0,a,b的定义式代入上式整理可以得

(19)

表1 振动周期精确解与近似解相对误差分析 =1

过函数曲线两端点作直线 (图5中虚线)，设所作直线的纵坐标为r′(φ,θ0)，则

图5 f(φ,k)和r(φ,θ0)与φ的关系曲线图

(20)

将ω0,a′,b′的定义式代入上式整理得

(21)

(22)

可见式(22)、(15)完全相同.

表2 振动周期精确解与近似解相对误差分析 =100

4 结论

用动力学的方法建立了均质球体与一维方向可自由移动的半圆形凹槽组成的系统的运动微分方程,并考虑均质球体从θ0静止释放时，静摩擦力|Ff|与正压力FN及静摩擦因数μ0必须满足|Ff|≤μ0FN，从而得到均质球体在半圆形凹槽中无滑滚动的临界角θc.

参考文献

1 周衍柏.理论力学(第二版).北京：高等教育出版社，1986.366

2 梁昆淼.理论力学(下册).北京:人民教育出版社,1980.324

3 肖士珣. 理论力学(第二版) . 北京:高等教育出版社，1983.388

4 梁昆淼,俞超,邱树业. 力学讨论 .成都:四川教育出版社,1987.529

5 何勤,谢秉川.均质圆柱体在非固定半圆形柱面内的振动周期.大学物理，2007,26(11)：29～33

6 李慧娟.质点沿可自由移动的光滑凹槽的运动分析.大学物理,2007,26(7)：18～20