模糊跳扩散模型的二元期权定价

王献东

(常州工学院理学院，江苏 常州 213002)

0 引言

Merton［1］是第一个提出能够刻划尖峰特征和波动率微笑的跳扩散模型来对Black-Scholes模型进行修正的，这一模型在期权定价理论中得到了广泛应用。金融环境的典型特征是具有不确定性，不确定性包含风险(随机)不确定和含糊不清(模糊)两方面。风险不确定可以用随机的工具来建模，含糊不清可以用模糊的方法来建模。Wu［2］把利率、波动率和股票价格取作模糊数并用模糊运算代替Black-Scholes公式中的运算，给出了模糊模式的Black-Scholes公式。在Merton跳扩散模型中，利率、波动率、Poission过程的强度和跳跃大小的均值与方差等参数都假定为精确的常数。然而，在实际的金融市场中，由于市场不时地波动和人为的失误，这些参数不能精确地得到，同时考虑到随机性和模糊性研究欧式二元看涨期权的定价问题，本文将定价公式中的利率、波动率、跳跃强度和跳跃大小的均值与方差等参数替换成它们相应的三角模糊数，得到模糊跳扩散模型二元期权的价格，模糊跳扩散模型的期权价格是一个模糊数，利用模糊数运算得到不同水平集的模糊价格区间，并给出一个数值计算的例子。

1 预备知识

1.1 模糊集理论

给出模糊集理论中的模糊数运算、模糊函数的α水平集以及三角模糊数的定义等。

引理 1［2］设和是两个模糊数，则也是模糊数，并且对任意的 α∈［0，1］，它们的α水平集为:

引理2［2］设f(x)是实数R上的实值函数，是R上的所有模糊子集的集合由扩展原理，f(x)能导出模糊值函数假定 的隶属函数是上半连续的，对任意的 y，{x∶y=f(x)}是一个紧集(在R内它是一个闭的和有界的集合)，则的 α 水平集为。

Fullér［3］提出的三角模糊数的隶属函数定义为:

1.2 跳扩散模型的二元期权定价

Merton［1］提出在风险中性概率测度 P下，标的资产价格S(t)满足如下随机微分方程:

其中，r＞0是无风险利率;σ＞0是股票收益波动率;W(t)是标准Brownian运动;N(t)是一个强度为λ＞0的Poisson过程;跳跃大小{Vi}是一个独立同分布的正随机变量序列，且Y=ln(Vi)是一个均值为 ν，方差为 θ2的正态分布，记作N(ν，θ2)，且本文假定W(t)，{Vi}和N(t)相互独立。

解方程(2)可以得到标的资产价格为:

二元期权又称为数字期权，有两种类型的二元看涨期权:资产或无价值看涨期权和现金或无价值看涨期权。对于第一种类型，如果标的资产到期日的价格高于敲定价格，期权持有者的收益等于标的资产价格，如果标的资产的价格低于敲定价格，收益为零。对于第二种类型，如果标的资产的价格高于敲定价格，期权持有者的收益等于固定数量金额，如果标的资产的价格低于敲定价格，收益为零。文献［4］和文献［5］分别研究了这两种类型的二元期权定价问题。本文研究第一种类型，即资产或无价值二元看涨期权的定价。

设C(S(T))表示到期日为T的资产或无价值看涨期权在到期日的收益，则:

其中，K是敲定价格。在风险中性概率测度P下，到期日T，敲定价格K的欧式二元看涨期权在 0 时刻的价格为，由文献［1］可得引理3。

引理3 假设标的资产的价格满足方程(2)，则欧式二元看涨期权的定价解析式为:

其中:

2 模糊跳扩散模型的二元期权定价

根据前面的分析，由于不准确的信息和金融市场不时地波动，Merton跳扩散模型假定利率r、波动率σ、跳跃强度λ、跳跃大小的均值ν与方差θ等参数为常数是不合理的。本文用模糊数来描述不能准确设定的上述参数，因此，得到模糊跳扩散模型。仿照文献［2］的处理方法，把式(5)中的r，σ，λ，ν和 θ分别替换成它们的模糊数和，得到模糊跳扩散模型的欧式二元看涨期权的定价解析式。

定理1 模糊跳扩散模型的欧式二元看涨期权的定价解析式为:

其中:

由于累积标准正态分布函数Φ(x)是增函数，e-x是减函数，由引理1和引理2得到以下定理，即定理2。

其中:

证明 由引理1模糊数的运算及引理2模糊值函数α水平截集的表示，有:

式(7)得证，同理可证式(8)。

3 数值例子

给出一个确定模糊跳扩散模型不同水平集价格区间的数值计算例子。假设股票的初始价格S(0)=20，用三角模糊数表示模糊参数和，这些三角模糊数的核值、左宽度和右宽度如表1所示。

表1 模糊参数的核值、左宽度和右宽度

表2给出了到期日T=0.25时模糊跳扩散模型不同α水平集的价格区间。

表2 模糊跳扩散模型不同水平集的价格区间

从表2可知，对于α=0.95，意味着期权价格以0.95 的置信度落在区间［6.337 7，6.824 9］上，也就是说，如果一个投资者对0.95这个置信度比较满意，则可以从闭区间［6.337 7，6.824 9］上任意选取一个值作为期权价格。还注意到，具有较小置信度的价格区间包含较大置信度的价格区间。

4 结论

由于金融市场的不时波动，在实际中利率、波动率、跳跃强度、跳跃大小的均值与方差等参数是不能准确设定的，具有一定的模糊性。本文假定上述参数为模糊数，给出了模糊跳扩散模型的二元看涨期权定价公式，以及模糊期权价格不同水平集区间端点的确定。模糊跳扩散模型是Merton跳扩散模型合理的和自然的推广。今后将对模糊跳扩散模型的一些复杂期权的定价问题进行研究。

［1］Merton R C.Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinuous［J］.Journal of Financial Economics，1976，3(1-2):125-144.

［2］Wu H C.Pricing European Options Based on the Fuzzy Pattern of Black-Scholes Formula［J］.Computers and Operations Research，2004，31(7):1069-1081.

［3］Fullér R.On Product-sum of Triangular Fuzzy Numbers［J］.Fuzzy Sets and Systems，1991，41(1):83-87.

［4］Kim L，Moon K S.Variable Time-stepping Hybrid Finite Difference Methods for Pricing Binary Options［J］.Bulletin of the Korean Mathematical Society，2011，48(2):413-426.

［5］Thavaneswarana A，Appadoob S S，Frank J.Binary Option Pricing Using Fuzzy Numbers［J］.Applied Mathematics Letters，2013，26(1):65-72.