一类HIV／AIDS流行病分数阶微分模型

杨 柳，宫兆刚，高正晖

（衡阳师范学院 数学系，湖南 衡阳 421008）

1 模 型

艾滋病对人类社会带来巨大危害，许多学者利用动力学方法研究其流行规律，取得了丰硕成果，如文献［1－2］等。大多数文献建立的都是整数阶微分方程模型，而分数阶微分方程模型很少被使用，而它具有较好的性质，如记忆性等，见文献［3］。由于现今人口流动非常频繁，特别是带HIV病毒的人有许多并不知道自身已感染。下面利用分数阶微分系统建立具有说服率和带HIV病毒人口输入率的模型，讨论其动力学性质。

假设某市总人口分四类：易感类，带HIV病毒类，已得AIDS类，说服类，分别用S（t），I（t），A（t），Q（t）表示t时刻的各类人口数。感染率记为β，自然死亡率记为μ，因病死亡率记为α，由带HIV病毒发展为AIDS的转化率为δ，说服率为p，HIV类输入率为q，q＜μ＋δ＋p。用如下动力学方程来描述此疾病传播过程：这里是Caputo分数阶导数，0＜σ≤1，初值S（0）＝S0，I（0）＝I0，A（0）＝A0，Q（0）＝Q0，参数α，β，δ，μ，p，q都是非负数。

易得系统（1）具有无病平衡点（S0，0，0，Q0），其中

若R0＜1，系统（1）仅有无病平衡点，若R0＞1，系统（1）存在地方病平衡点（S＊，I＊，A＊，Q＊），其中

2 平衡点的稳定性

定理1：当R0＜1，无病平衡点是局部渐近稳定的，当R0＞1时，无病平衡点是不稳定的。

证明：系统（1）在无病平衡点处的特征方程为

解之得λ1＝（μ＋δ＋p－q）（R0－1），λ2＝－（μ＋p），λ3＝－（α＋μ），λ4＝－μ。

当R0＜1时特征根都小于0，当R0＞1时特征根有一个为正。根据文献［5］系统的Jacobican矩阵的所有特征值λ满足，平衡点是局部渐近稳定的，可得定理1。

定理1：当R0＞1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的。

证明：地方病平衡点的特征方程是

即（λ＋μ）（λ＋α＋μ）［λ2＋（βI＊＋μ＋p）λ＋β2S＊I＊］＝0

可以判断所有根都是负数，根据文献［5］系统的Jacobican矩阵的所有特征值λ满足，平衡点是局部渐近稳定的，可得定理2。

［1］张梅，张凤勤，刘汉武.一类具有垂直传播的HIV模型的稳定性分析［J］.工程数学学报，2012，29（3）：309－403.

［2］宋保军，娄杰，文清芝.使用T－20治疗HIV－1患者的不同策略的数学建模与研究［J］.应用数学和理学，2011，32（4）：400－407.

［3］黎梅新，叶海平.一类带有治愈率的HIV感染CD4T细胞的分数阶微分方程模型［J］.东华大学学报：自然科学版，2010，36（1）：103－108

［4］P.Driessche，J.Watmough.Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission［J］.Math.Bio.，2002，180：29－48.

［5］Ahmed，E.，Elgazzar，A.S.On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics［J］.Physica A，2007，379（2）：607－614.