高阶离散Green函数的一个逐点估计

魏继东

（衡阳师范学院 数学与计算科学系，湖南 衡阳 421008）

0 引 言

离散Green函数在研究有限元最大模估计中起着非常重要的作用。文［1］给出了一阶离散Green函数定义并得出了相关性质，文［2］给出了离散Green函数的一个逐点估计。文［3］给出了高阶离散Green函数定义及性质，本文在［2］及［3］的基础上获得了高阶离散Green函数的一个逐点估计。

1 高阶离散Green函数定义及记号

考虑椭圆问题：

其变分形式为：

设Sh是有限元空间，引进高阶导数∂izG＊z及其Galerkin逼近∂izGhz（i≥2）（参［3］），满足：

设B是半径为r的球，Bd是半径为r＋d的同心球，熟知若u在Bd内调和，uh∈Sh则有：

由文［2］有如下命题

命题1.若uh∈Sh，Bd⊂D⊂Ω满足a（u，v）＝0，则：

命题2.在命题1的假设下有：

2 两个引理

引理1.设g＝∂izGz，gh＝∂izGhz，则对任意s≤k－1，有：

证明：先设g＝∂izG＊z，注意到

由文［3］性质1及插值估计有

再利用文［4］极限过度方法将g＝∂izG＊z换成g＝∂izGhz结论依然成立。

引理2.设g＝∂izGzgh＝∂izGhz，存在常数C使得当k≥2时有

证明：设x为B的中心，，ω为B上的切断函数，令u1＝ωg（x），uh1为u1的Galerkin逼近，uh2＝gh（x）－uh1，则

并且

为估计I2，将B做一点小修改使ω在B内有支集，设，则由命题1，命题2有：

由文［3］性质2有：

结合上面各式即得证引理，

3 主要定理

定理1.若存在常数C0使得，则有：

证明：设x∈e，z∉e，记d0＝dist（z，e），则d0≥，应用逆不等式及引理2有

证毕。

［1］朱起定，林群.有限元超收敛理论［M］.长沙：湖南科技出版社，1989.

［2］Lin，Q.，Zhou J.M.Superconvergence in high－order Galerkin finite element methods［J］.Compute Methods in Applied Mechanics and Engineering，2007，196：3779－3784.

［3］魏继东，朱起定.离散Green函数估计的若干推广［J］.邵阳学院学报：自然科学版，2008，5（2）：13－14.

［4］谢锐锋.凹角域上的Green函数逼近的逐点估计和有限元外推［J］.计算数学，1988（3）：232－241.