对wallis 双边不等式的一个改进及应用①

池爱子， 郑米海， 郑鹏飞

(台州学院，浙江 临海317000)

0 引 言

Wallis 公式指的是

Wallis 不等式［1］指的是:对于n = 1，2，…，有

文献［2］将式(1)改进为:n = 1，2，…，有

文献［3］将(2)改进为:n = 1，2，…，有

其中

文献［4］将(3)改进为:n = 1，2，…，有

其中

本文对式(4)中的ζn及ηn给出了更好的一个表示式.

1 定理及证明

定理1 对于n = 1，2，…，有

其中

由Wallis 公式，有

考察数列{xn}的单调性.为此，考虑

易知

分别记上式分子，分母为An和Bn，那么

于是

由于

所以

如果Δn＞0，这说明此时数列{xn}是严格递增数列.

当α0= 3，

令Δn＞0，此时考虑分母小于0，只要取使β(11 +β)+3n(-6 +7β)+2n2(-9 +8β)＜0 最大的β即可.

令

只要满足:

即可，解得

最小的β 即可.同理，只要满足

所以

同理可得，右边

证明完毕.

2 定理的应用

2.1 Catalan 数

文献［5］给出了关于Catalan 数

的一个估计:

应用定理1，给出Catalan 数的另一个估计:

2.2 各类双边不等式的数值比较

表1 各类双边不等式左边的误差比较

表2 各类双边不等式右边的误差比较

由上述表格可知，(5)式优于(1 ～4)式. 因此本文得到的结果关于Wallis 双边不等式的加强其结果更加精细.

［1］ D.s.密特利诺维奇著，张小萍.王龙译. 解析不等式［M］.北京:科学出版社，1987，259.

［2］ Kazarinoff D K.On Wallis Formula［J］. Edinburgh Math Notes，1956，40:19 -21.

［3］ 赵德钧.关于含有WaUis 公式的双边不等式［J］.数学的实践与认识，2004(7)，34(7):166 -188.

［4］ 张国铭.关于Wallis 不等式的上界和下界［J］.数学的实践与认识，2007(3)，37(5):111 -116.

［5］ 徐利治，罗笑南.关于含有Stirling 公式的双边不等式［J］.数学的实践与评论，1999，19(3):491 -494.

［6］ 匡继昌.常用不等式(第三版)［M］.济南:山东科学技术出版社，2004:96 -97.

［7］ 齐玉霞，周金峰.Wallis 不等式的新改进［J］. 数学的实践与认识，2009，39(8):224 -227.

［8］ Zhao yue-qing，Wu qing-biao.Wallis Inequality with a Parameter［J］. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics，Volume 7，Issue 2，Article 56，2006.