一类重调和方程边值问题解的奇点可去性

刘 淼， 魏公明

（上海理工大学理学院，上海 200093）

一类重调和方程边值问题解的奇点可去性

刘 淼， 魏公明

（上海理工大学理学院，上海 200093）

给出了一类重调和方程边值问题解的表示式，研究了其解的奇点可去性，利用判断反常积分收敛性的方法对解的表示式作了敛散性分析，给出了该类方程在限定条件下的具体表达式，研究了相应的解的积分表达式.将函数项幂次的取值范围在实数域上分为3段，分别讨论了每种情形下相应积分式的敛散性，得出了其在不同参数范围下解的奇点可去性.

重调和方程；反常积分敛散性；边值问题；奇点可去性

1 问题的提出

近年来有许多学者致力于重调和方程的研究［1-2］，对于这类问题，重调和方程解的奇点可去性研究是至关重要的内容.1997年，Soranzo［3］研究了一类超线性双重调和方程

正解的孤立奇点，围绕双重调和方程奇异解的局部行为，给出了奇点及其存在性的完整描述，此外还建立了方程的径向对称解的一个先验估计.

2009年，Hsu［4］研究了重调和方程可去奇点，证明了多重调和方程上的一个解u在x0有一个可去奇点的充要条件.

2010年，Ghergu等［5］研究了多重调和不等式-Δmu≥0在B1（0）-｛0｝⊂Rn上的非负古典解u，给出在整数n≥2，m≥1情形下，解u满足一个点点先验界（当x→0时）的充分必要条件，该情形下，当x→0，u的最佳估计为u（x）=O（Γ（x））.其中，Γ是-Δ在Rn中的基本解.

近几年来在偏微分方程这一数学领域中对解的奇点可去性的研究引起普遍重视.本文在借鉴以上研究成果的同时，参阅了相关文献［6-8］，利用判断反常积分收敛性的方法对双调和方程边值问题

进行解的奇点可去性分析.

2 预备知识

式中，Ω⊂Rn为有界光滑区域；f是在适当函数空间内的已知函数；u表示未知的解.

假设f属于适当的函数空间，在表达式有意义及问题（1）有解的情况下，可以在形式上将问题（1）的解u写成用格林函数表示的公式

显然，格林函数G（x，y）的具体表达式不容易给出，但是，若积分区域在n维单位球上，即Ω=B⊂Rn，在有界光滑区域上，问题（1）存在格林函数从而解u的表达式可写为

现介绍Ω为n维单位球时，狄利克雷问题（1）的格林函数表达式.

在此之前，先介绍一些记号.

a.假设f，g≥0为定义在同一集合D上的两个函数.

记f≾g，若对任意的x∈D，都存在c＞0，使得f（x）≤cg（x）.

给定多重调和方程边值问题

3 主要结果

4 结论及推广

［1］ Gazzola F，GrunauHC，SweersG.Polyharmonic Boundary Value Problems［M］.Heidelberg：Springer，2010.

［2］ Lu Guozhen，Wang Peiyong，Zhu Jiuyi.Liouvi l le-type theorems and decay estimates for solutions to higher order el l iptic equations［J］.Ann I H Poincaré-AN，2012，29（5）：653-665.

［3］ Soranzo R.Isolated singularities of positive solutions of a superl inear biharmonic equation［J］.Potential Analysis，1997，6（1）：57-85.

［4］ Hsu S Y.Removable singularity of the polyharmonic equation［J］.Nonl inear Analysis，2010，72（2）：624 -627.

［5］ Ghergu M，MoradifamA，Tal iaferroSD.Isolated singularities of polyharmonic inequal ities［J］.Journal of Functional Analysis，2011，261（3）：660-680.

［6］ Mamedov F I，HarmanaA.On the removabi l ityof isolated singular points for degeneratingnonl inear el l iptic equations［J］.Nonl inear Analysis，2009，71（12）：6290-6298.

［7］ 褚后利，魏公明.一类超线性Dirichlet问题无穷多个径向对称解的存在性［J］.上海理工大学学报，2013，35（2）：121-125.

［8］ 张仕玉，魏公明.一类半线性椭圆型方程解的可去奇点问题［J］.上海理工大学学报，2013，35（1）：37-40.

（编辑：石 瑛）

Re m ovability of Singularities of Solutions of Polyhar m onic Equations Boundary V alue Proble m

LIU Miao， W EI Gong-ming
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Methods for discriminating convergence and divergence of an improper integral was utilized to analysis the convergence and divergence of the representation formula of solutions of polyharmonic equations boundary value problem，The concrete formula ofthe equation was given in certain restricted conditions，The corresponding integral expressions were studied，Furthermore，the power offunctions was divided into three parts in real number field and the convergence and divergence ofcorresponding integralexpressions were analyzed separately in each section，Based on the above discussion，the study shows that the integral expressions of solutions are convergent if the power is greater than a certain critical value and the singularity is removable，while they are divergentif the power is less than the critical value and the singularity is nonremovable.

polyhar monic equation；convergence and divergence of im proper integral；boundary value problem；singularity removability

O 175.2

A

1007-6735（2013）05-0443-06

2012-12-20

刘 淼（1988-），女，硕士研究生.研究方向：偏微分方程.E-mai l：329165650＠qq.com