考虑齿间摩擦力的齿根弯曲应力计算

佘勃强，吴引江，崔亚辉

（1.西北有色金属研究院宝德公司，陕西 西安710016；2.西安理工大学机仪学院，陕西 西安710048)

现行的齿根弯曲强度计算中只考虑了法向啮合力，而忽略了齿间摩擦力[1~2]。李秀莲、徐辅仁等人对齿间摩擦力对齿根弯曲应力的影响做了研究，认为在齿间摩擦系数大的情况下可使齿根弯曲应力增加10%以上[3~5]。

本文进一步按照现行的齿轮强度计算方法全面地分析了齿间摩擦力对增速传动和减速传动中大、小齿轮齿根弯曲应力的影响，并对影响程度进行了定量计算。

1 力学模型的建立

齿间摩擦力的方向在主动轮啮合齿面上是背离节线，分别指向齿根和齿顶的，而在从动轮啮合齿面上正好相反[2]。主、从动轮齿顶啮合时计算齿根弯曲应力的简化力学模型分别如图1中（a）、（b）所示。轮齿在啮合面上受沿啮合线方向的法向载荷Fn及沿齿面接触点切线方向的切向载荷Ff（齿间摩擦力）的作用。为便于研究，将法向载荷Fn沿啮合线移动到主动轮轮齿中线的K点，将切向载荷Ff沿齿顶R点的渐开线切线也移动到轮齿中线的E点，令齿间摩擦力Ff与轮齿齿廓对称中线所夹锐角为αF，于是，Fn被分解成垂直于轮齿中线及沿着轮齿中线的两个分量FncosαF和FnsinαF。类似地，Ff也被分解为FfsinαF和FfcosαF。在这里主动轮上的FnsinαF与FfcosαF方向相反（从动轮上的FnsinαF与FfcosαF方向相同），前人的研究业已表明它们的合力在齿根剖面上产生的压应力与该剖面上弯曲应力相比甚小，可忽略不计[2]。因此，本文主要考虑FncosαF和FfsinαF联合作用下的齿根弯曲应力。

图1 考虑摩擦力的轮齿力学模型

2 计算公式的推导

在考虑摩擦力的作用下，齿根危险剖面的弯曲应力计算公式为[1~2]：

其中，W为齿根危险截面的抗弯截面模量；

式中，Fn（f）为考虑齿间摩擦力时的法向力,主动轮为“+”，从动轮为“-”。

齿轮弯曲疲劳强度计算已形成统一规则：对于相互啮合的一对齿轮，无论是计算小齿轮还是大齿轮的齿根弯曲疲劳应力，只以小齿轮的扭矩及分度圆直径为依据，因此应建立考虑齿间摩擦力时的小齿轮传递扭矩T1与Fn（f）之间的关系。

当小齿轮为主动轮时，由图2所示关系可得：

图2 小齿轮主动时齿顶啮合受力示意图

同理，当小齿轮为从动轮时（此时齿间摩擦力Ff的方向正好与作主动轮时的相反）有：T1=Fn（f）rb1-Ff，由于有αB21=αa[2]，αa1为小齿轮齿顶圆上的压力角，从而可得考虑齿间摩擦力时小齿轮上的Fn（f）与小齿轮传递扭矩T1之间的关系为：

式中，小齿轮主动为“+”，小齿轮从动为“-”。

大齿轮主动时的齿顶啮合受力如图3所示。同理可得：

图3 大齿轮主动时齿顶啮合受力示意图

式中，大齿轮主动为“+”，大齿轮从动为“—”。

由渐开线标准齿轮的性质可知：

代入上式并整理可得考虑齿间摩擦力时大齿轮上的Fn（f）与小齿轮传递扭矩T1之间的关系

将（2）、（3）式代入（1）式并整理后可得考虑齿面间摩擦力时的齿根弯曲应力为：

式中：ρ（f）为弯曲强度摩擦因子，反映了齿面间摩擦力对齿根弯曲应力的影响程度。齿轮主动时为“+”，齿轮从动时为“-”。

3 弯曲强度摩擦因子的计算

对于标准渐开线齿形，其简化力学模型如图4所示，经过推导可得到下列方程组。

图4 轮齿的简化力学模型及其几何参数[3]

其中：αa1为小齿轮齿顶圆处的压力角；αa2为大齿轮齿顶圆处的压力角；α为分度圆处的压力角；sa为齿顶圆处的齿厚；z1为小齿轮的齿数；z2为大齿轮的齿数；f为啮合齿面间的摩擦系数。齿轮主动时为“+”，齿轮从动时为“-”。

由以上方程组可以看出，影响弯曲强度摩擦因子ρ（f）的因素有：齿轮齿数z、分度圆压力角α、模数m及啮合齿面间的摩擦系数f。进一步利用Matlab语言编程可以计算出弯曲强度摩擦因子ρ（f）与上述诸因素的关系。结果表明，z和f的影响较大，见图5、图6所示。

图5 ρ（f）与z的关系

图6 ρ（f）与f的关系

从图中可以看到，小齿轮和大齿轮上的弯曲疲劳强度摩擦因子随z、f变化趋势基本是一样的，当其为主动轮时都大于1，当其为从动轮时都小于1。无论为主动轮还是从动轮，齿数z对大小轮上的弯曲强度摩擦因子影响都不大，不超过±2.5%。齿面摩擦系数f对小齿轮上的弯曲强度摩擦因子影响也比较小，在±3%范围之内。而对大齿轮上的弯曲强度摩擦因子影响就比较大，当f大于0.08时会使主动大齿轮上的弯曲强度摩擦因子增加到1.05以上，当f=0.15时主动大齿轮上的弯曲疲劳强度摩擦因子几乎增加到1.1时，从而使齿根弯曲应力相应增加10%。当大齿轮从动时，齿面摩擦系数f使弯曲强度摩擦因子减小1%到10%。

定量计算结果明确展示了摩擦系数f对大小齿轮的齿根弯曲疲劳强度的影响程度，表明当大齿轮作为主动轮时有必要计入齿间摩擦力的影响。

4 结束语

通过本文的分析计算，可以得出以下结论：

（1）在减速传动中，齿间摩擦力使小齿轮齿根弯曲应力增加不超过3%，大齿轮齿根弯曲应力减小1%到10%。因此在设计校核时将齿间摩擦力忽略掉是完全可行的。

（2）在增速传动场合下，齿间摩擦力使主动大齿轮的齿根应力增加1%到10%，当齿面摩擦系数f大于0.08时就增加5%以上，主动大齿轮齿根弯曲强度的精确计算校核有必要考虑齿间摩擦力的影响。

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