基于统计原理的板边弯矩计算方法

程国勇，郭志光，孟曙东，胡 辉（中国民航大学机场学院，天津 300300）

基于统计原理的板边弯矩计算方法

程国勇，郭志光，孟曙东，胡 辉
（中国民航大学机场学院，天津 300300）

板边弯矩的计算是机场刚性道面板设计的重要内容，传统采用手工在板边弯矩影响图上数格的方法，计算效率低且误差在所难免。首先建立板边弯矩影响图数据库，然后用excel内嵌的VBA功能，通过程序判断板边弯矩影响图每个网格的结点与轮印的相对位置以及在不完整网格内均匀布点的方式，采用程序计算出不同机型一个主起落架轮印覆盖的格数，即可精确计算出板边弯矩。通过算例验证表明，该方法的计算误差随着在不完整网格内均匀布点的密度增大而减小，当按照0.02网格长×0.02网格宽的密度布点时，计算误差在0.001以内。上述方法不仅可彻底避免主观因素带来的误差而且大大提高计算效率，基于上述原理还可开发出机场刚性道面设计软件。

机场道面设计；水泥混凝土道面；面层厚度；板边弯矩影响图

机场水泥混凝土道面面层厚度计算是道面设计中的核心内容，如果计算厚度偏小，在预期设计使用年限内和预期交通量作用下，机场道面将难以保证使用性能，会发生早期破损及至结构破坏，甚至危及航空安全；如果计算厚度偏大，则造成初期建设投资过大，不能满足工程建设的经济性要求[1-2]。

然而面层厚度计算中的最大难题就是如何求得主起落架作用在道面板上所引起的板边弯矩Me。传统做法是将飞机一个主起落架的轮胎印，利用相对刚度半径等效放缩后覆盖到板边弯矩影响图上，数出所覆盖的格数Nb，进而计算板边弯矩[3]。这种方法不仅费事费时而且精度不高，尤其在轮印边缘所占格子不是整数时主观因素大，偏差较大。

基于上面的考虑，本文利用excel及内嵌的VBA，实现了数格而且精度很高[4-5]。通过进一步的程序调试及修改，实现了只需在表格内输入计算所需的工程设计条件及机场交通组成的机型参数，得到板边弯矩及所有机型疲劳损耗比之和，从而确定道面面层厚度h。用excel计算板边弯矩，更加方便、快捷、准确度高，对机场道面设计具有重要的参考价值。

1 利用excel计算轮印覆盖格数原理

板边弯矩影响图由无数大小不一、形状各异（绝大多数为四边形）的小格组成，如图1所示。取板边弯矩影响图的O点为坐标圆点，水平方向为X轴，建立直角坐标系，在cad中绘制出板边弯矩影响图（绘制的刚度半径为324.46），并确定每个小格各角点的坐标，建立各网格角点坐标文件作为采用程序计算轮印覆盖格数的基础数据。求轮胎印所覆盖的格数，可理解为判断每个小格的角点是否在轮印范围内，轮印形状如图2所示。如果某小格4个角点均不在轮印范围内，则该网格不被轮印覆盖；如果某小格4个角点均位于轮印范围内，则该网格被轮印所覆盖；如果部分角点位于轮印范围内，则需要计算轮印覆盖该网格的比例，为一分数。将所有整格数与分数格数相加即为该轮印覆盖格数。

图1 板边弯矩影响图Fig.1 Edge bending monment influence diagram

图2 轮印形状Fig.2 Shape of wheel imprint

当临界荷位确定时，机轮轮胎的轮廓方程就可以得到。以临界荷位为机轮与板缝相切为例，轮印面域方程为

当某小格的所有角点均不满足式（1）时，则该小格不被轮印所覆盖，并计数为0。当某小格的4个角点均满足式（1）时，则该小格被轮印所覆盖，并计数为1；当另一小格的4个角点也均满足式（1）时，计数为1，并累计为2；以此类推可以计算出轮印覆盖的所有整格数。当有部分角点满足式（1）时，说明该小格部分被覆盖，采取估算的方式计数，本文中采用在该小格内均匀打点的方式估算：首先，判断所打的点是否满足式（1），如果满足计数为1，不满足计数为0；然后统计共有多少个点满足；最后将满足的点的总数除以在该格内打的总点数，计数为被覆盖部分的格数；对所有部分被覆盖的小格采取均匀打点的方式可以估算出轮印覆盖的所有分数格数。

基于上述想法，做了如下试验。如图3所示，图中的小格为均匀网格。将各点的坐标输入到excel中，可得各点在直角平面内的坐标。圆的方程为x2+（y-5）2= 52。假设某个小格A的4个角点按逆时针排序为A1，A2，A3，A4。当小格A的角点A1（x1，y1）满足x2+（y-5）2≤52时即可判断A1点在圆域内，反之则在圆外。当一个小格的4个角点均满足x2+（y-5）2≤52，则计数为1。这样可以计算出圆域覆盖的所有整格数。对于部分在圆内的格数统计，采用上述的打点方式，取点方式为：首先对A1的x1增加一个小量（如0.02），在此坐标下对y1进行逐次增加小量（如从y1增加到y3，每次增加0.02），反馈回多少点在圆内。然后x1再增加第二个小量，y1再逐次增加小量；直到x1增加到x2。这样共在小格A内试验了2 601个点，将返回来的在圆内的点除以2 601，即为统计的在圆内的分数格数。将所有整格数与分数格数相加即为该圆覆盖格数。

图3 均匀网格内计算圆覆盖的格数Fig.3 Number of squares of circular covering uniform grid

验证过程：已知每个小格的面积为单位1，通过上述方式数出在圆域内的格数，乘以每个小格的面积1得到的数值即为圆的面积；将程序所得到的面积值与通过公式πr2计算得到的值相比较，误差在0.001 5左右（绝大多数是数出的面积比实际的要小）。由此可见，由这种数格方式得到的值是正确的。假如将增量0.02变小，那么得到的值将更加接近实际值。

又做了如下的第二个试验，如图4所示。通过分段函数可以得到轮胎轮廓的方程，然后用同样的方法，可以数出轮胎内的格数。且通过相似的验证，误差在0.001左右（绝大多数是数出的面积比实际的要小）。

图4 均匀网格内计算轮印覆盖的格数Fig.4 A number of squares of wheel imprint covering uniform grid

利用在均匀网格内数格的方法，实现了在excel中得到飞机一个主起落架轮印覆盖的格数。然后根据相应的公式[3]得到板边弯矩以及累计疲劳损耗比。

2 验证

板厚设计实例。设计资料：土基反应模量k0=50 MN/m3；基层材料为水泥稳定碎石（当量系数为1.5），厚度30 cm；道面板采用水泥混凝土弯拉强度fcm=4.5 MPa、弯拉弹性模量Ec=36 000 MPa，水泥混凝土泊松比μc=0.15；交通组成如表1所示，设计年限取30年。

表1 交通组成Tab.1 Traffic composition

当拟定板厚h=375 mm时，手工数格方式数出的一个主起落架轮印覆盖的格数与程序数出的格数对比如表2所示。

表2 一个主起落架轮印覆盖的格数Tab.2 A main landing gear cover grid number

通过对比可知，手工数出的格数与程序数出的格数的最大相差竟达到43个格数；而且手工数出的格数有时偏大有时偏小，对设计造成的误差不容忽视。经过进一步的程序计算得出，手工得到的拟定板厚并不符合设计要求，板厚h=370 mm时是满足设计需要及要求的，虽仅有5 mm之差，但对于道面整体设计来说可以减少大量的材料且施工相对方便很多。综上所述，传统采用手工法计算效率低且误差在所难免，而程序计算的方法不仅可彻底避免主观因素带来的误差而且大大提高了计算效率。

3 结语

1）板边弯矩的计算是机场刚性道面板设计的重要内容，计算偏小或偏大均不能满足工程建设要求；本文提出的excel法大大提高了计算精度及准确性，同时也大大地节省了繁琐的计算过程；并通过比较验证，证明了其正确性。

2）本文中的excel软件具有方便、快捷的特点；不用重新安装其他软件，只需把本文中的excel拷过去，打开即用；本文提出的计算方法对于想优化本文程序界面、提升程序运行速度或采用不同的计算机语言重新编程的人，具有极大的参考价值。

3）建议在相关教材及规范、手册中涉及到板边弯矩影响图和水泥混凝土道面面层厚度计算时，采用本文中的计算思路和程序。

[1]王 维.计算民用机场刚性道面面层厚度的疲劳消耗方法[J].公路交通科技，2004，21（3）：14-17.

[2]顾正浩，陈小勇.浅谈水泥混凝土路面厚度设计[J].山西建筑，2008，34（27）：285-286.

[3]中华人民共和国行业标准.MHT 5004-2010，民用机场水泥混凝土道面设计规范[S].中国民航机场建设集团公司，2010.

[4]黄敬林，刘保县.水泥混凝土路面面板厚度电算程序开发[J].西华大学学报（自然科学版），2005，24（4）：92-94.

[5]郭兴成.VB NET程序设计[M].北京：机械工业出版社，2003.

（责任编辑：杨媛媛）

Method of using excel to calculating plate edge bending moment

CHENG Guo-yong，GUO Zhi-guang，MENG Shu-dong，HU Hui
（Airport College，CAUC，Tianjin 300300，China）

The calculation of plate edge bending moment is the important content in designing rigid pavement of airport. It is low efficiency and has inevitable errors that the traditional manual of counting cells′number.This paper，firstly，establish database of plate edge bending moment influence diagram；then using VBA embedded in excel designs a program which can verdict the relative position between each node of a grid and tire seal of aircraft main landing gear and can calculate the number of covered cells；finally precisely calculate the bending moment of plate edge.Through a practical example we can conclude that the calculation error of the method presented in this paper decreases with increasing density of the points evenly assigned in incomplete grid.When according to 0.02 grid long x 0.02 grid wide assigns each grid，the calculation error within 0.001. The method not only can completely avoid subjective factors but also greatly improve the computational efficiency.Basing on the above principles，airport rigid pavement design software can be developed.

airport pavement design；airport cement concrete pavement；layer thickness of cement concrete road surface；plate edge bending moment influence diagram

V351.11

A

1674－5590（2013）01－0073－03

2012-06-11；

2012-09-21

天津市教委科研项目（20090418）；中央高校基本科研业务费专项（ZXH2009A002）

程国勇（1971—），男，河北衡水人，教授，博士，研究方向为地基基础检测技术与加固理论.