基于有理谱法的大气紊流仿真及应用研究

曹九发，沈宏良，王同光

(南京航空航天大学航空宇航学院，江苏南京210016)

0 引言

大气紊流是飞机飞行过程中经常遇到的一种大气扰动现象，它是叠加在定常风上的风速矢量的连续随机脉动［1-2］。当飞机遇到大气紊流时将发生颠簸，从而影响乘坐舒适性和飞行安全。同时，大气紊流引起的载荷变化对飞机结构疲劳产生一定影响，尤其是弹性飞行器，将激发弹性模态导致机体损伤。为此，建立大气紊流时域数学模型，并研究大气紊流对飞机运动特性及载荷变化的影响，进而设计阵风减缓控制律，是飞行动力学的一个重要研究方向。

从20世纪50年代开始，国外对大气紊流现象进行理论和试验研究，并提出了Von Karman和Dryden两种功率谱模型。在弹性飞行器动力学特性研究中，由于飞机结构模态频率通常处于高频范围，采用Von Karman模型成为最佳的选择［3-5］。

国内对基于Von Karman功率谱模型的大气紊流时域数据生成方法研究相对较少，且已有的研究也存在一定不足。文献［6］采用三维傅立叶变换方法得到Von Karman模型的大气紊流数据，该方法计算量大，不能得到有理式形式，不便于飞行控制律设计。文献［7］直接将Von Karman功率谱模型简化为一阶线性模型，存在精度低的缺点。

本文采用有理谱方法对Von Karman模型频谱函数进行逼近，推导得到逼真程度较高的线性模型滤波器，较真实地反映了实际大气紊流特性，可应用于飞机运动特性分析、载荷计算及控制律设计等方面。

1 大气紊流模型的建立

1.1 大气紊流模型

Von Karman根据理论和测量数据，导出大气紊流的能量频谱函数［3］:

式中，σ为紊流强度;L为紊流尺度;Ω为空间频率;a为常数，其值为1.339。能量频谱函数符合大气紊流理论中的极限条件:当Ω→0时，E∞Ω4;当Ω→∞时，E∞Ω－5/3。由大气紊流分量的空间频谱及关系式:

可把横向的空间频谱转化成时间频谱:

式中，Φww(ω)为时间大气紊流频谱;ω为时间频率。

1.2 大气紊流数值模拟基本原理

由于Von Karman模型以功率谱的形式建立，不能直接应用于飞行仿真。本文以垂直向紊流谱Φww(ω)为例，对Von Karman紊流模型的数值模拟方法进行了研究。可以利用有理谱法逼近一个线性滤波器模型来实现紊流的数值仿真。其基本思想是:以白噪声为系统的输入，通过选择恰当的系统函数来使该系统输出的功率谱恰好等于Von Karman功率谱。

根据线性系统的基本原理有:

式中，Sr(ω)和Sw(ω)为输入和输出响应的功率谱密度;H(ω)为系统频域响应函数。

为使紊流速度的统计特性满足Von Karman功率谱的条件，在上式中取系统的频率响应函数等于Von Karman功率谱的方根，以白噪声过程r(t)作为输入，得到:

1.3 有理谱法

从式(5)看出大气紊流频谱不是有理谱，而有理谱建模方法是基于有理谱理论建立起一个线性模型，其定义［8］如下:

设SX(ω)是实平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数，如果SX(ω)可以表示为:

式中，P(ω)与Q(ω)均为ω的实系数多项式，并且m＞n，则称SX(ω)是平稳过程X(t)的有理功率谱密度函数，简称有理谱。当n=4，m=5时，本文称该模型为五四模型。按照参数估计理论，为得到参数估计值，应有:

式中，N＞2m;S(ω)为紊流功率谱密度。即有:

写成矩阵形式为:

由参数估计的最小二乘法，有:

根据此定理用五四模型对Von Karman大气紊流频谱进行拟合。取V=243 m/s，σw=2 m/s，2Lw=760 m，并且与文献［7］简化的Von Karman模型频谱、Dryden模型频谱比较，结果见图1(PSD为大气紊流的功率谱密度)。

图1 不同大气紊流模型PSD对比图Fig．1 PSD comparison of the different atmospheric turbulencemodels

从上图可以看出，Dryden模型和Von Karman模型的横向频谱存在很大差距，虽然文献［7］的简化Von Karman模型比Dryden模型更接近理论Von Karman模型，但是也存在较大的差距，而五四模型和Von Karman频谱拟合得更好，因此本文采用五四模型来建立滤波器模型。

2 大气紊流滤波器的实现

设输入的高斯白噪声r(t)为正态白噪声过程，并且其均值E{r(t)}=0，功率谱密度为Sr(ω)=1。对于所得的五四模型有理谱，根据有理谱定理可得:

式中，ci，di，a4和 b5为所要求解的常数。由其零极点特点，SX(ω)可分解为:

综上可得滤波器的传递函数为:

从而可以得到V=243 m/s，σ=2 m/s，2Lw=760 m的大气紊流滤波器模型如下:

基于Von Karman功率谱模型，有学者提出过一个三阶滤波器［9］:

对于得到的传递函数，采用冲激响应不变法来设计相应的数字滤波器，并且通过数字滤波器的传递函数H(z)取模值的平方，可得到它的幅频特性曲线应该与Von Karman模型频谱拟合。仿真曲线如图2和图3所示。由图2可知，采用的五四模型和三阶T(S)大气紊流模型与理论大气紊流模型的频谱拟合得较好。但由图3可知，相对三阶T(S)紊流模型，五四模型在高频范围具有更高的精度。由于飞机的结构振动模态频率较高，五四模型可准确反映该范围大气紊流的统计特性，从而可提高大气紊流对飞机载荷及结构疲劳影响的分析精度。

图2 三种大气紊流模型的PSD对比Fig．2 PSD comparison of the three atmospheric turbulencemodels

图3 高频处三种模型的PSD对比Fig．3 PSD comparison of the threemodels in the high frequency

3 大气紊流的时域仿真

本文对五四大气紊流模型进行了时域仿真分析。以白噪声为输入量模拟生成的铅垂向大气紊流速度分量w时历变化序列如图4所示。

图4 w时间变化曲线Fig．4 Time variation curve of w

计算上述大气紊流信号的相关函数以进一步检验其准确性，结果如图5所示。该图对比上述随机紊流序列的相关函数与Von Karman模型理论相关函数，可见两者吻合程度是令人满意的，其中ξ为位置差。

图5 相关函数曲线Fig．5 Correlation function curve

为了反映大气紊流的起伏特性，将二维白噪声作为线性系统的输入，可以得到两个方向相关的大气紊流。根据大气紊流呈现各向同性的基本假设，且两个横向大气紊流频谱相同，则两个横向大气紊流模型的传递函数相同［3］。仿真结果见图6(图中x，y轴为网格数90×90，z轴为大气紊流速度分量w，单位为 m/s)。

图6 二维大气紊流仿真结果图Fig．6 Simulation results of two-dimensional atmospheric turbulence

4 飞机对大气紊流的响应

为验证模型的实用性，进而分析横向的大气紊流对飞机运动的影响。由于大气紊流的横向对飞机的纵向运动影响较大，因此，本文以横向大气紊流输入作为算例，建立了包括大气紊流五四线性模型的线性飞行动力学数学模型，并进行了仿真分析。考虑舵机、紊流模型，构成飞机纵向动力学增广状态方程:

其中:

式中，ΔV，Δα，Δq，Δθ分别为航迹速度、迎角、俯仰角速度和俯仰角的偏量;δe，δf分别为升降舵、襟翼的偏量;z1，z2，z3，z4，z5为大气紊流模型的状态量。

以某客机为算例，输入均值r为0、方差为1的Gauss白噪声，基于上述模型，采用Simulink仿真计算得到飞机受连续大气紊流影响的响应特性如图7和图8所示。

从仿真结果可以看出，飞机纵向短周期特性参数Δα，Δq受连续大气紊流影响引起的变化较为激烈，而长周期ΔV，Δθ变化较平缓。说明了大气紊流数值模拟及飞机响应特性符合实际飞行情况，上述模型可用于大气紊流作用下飞机过载等状态参数响应特性的计算，为飞机阵风减缓控制律设计提供基础。

图7 飞机纵向长周期响应特性Fig．7 Response characteristics of aircraft longitudinal long-period

图8 飞机纵向短周期响应特性Fig．8 Response characteristics of aircraft longitudinal short-period

5 结束语

本文研究了大气紊流的有理谱建模及时域仿真问题，建立了大气紊流五四模型，分析了该模型的频谱特性，进行了飞机遇到大气紊流的响应仿真。分析结果表明，五四模型在高频范围更接近Von Karman理论功率谱。由于大气紊流的高频特性可能激发弹性飞机结构振动，影响飞行器的运动特性，因此，五四模型对提高研究弹性飞机的结构疲劳、飞行品质、飞机阵风减缓控制律设计等问题的准确性具有一定意义。

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