关于由球的投影得到的椭圆离心率的一组结论

云南省玉溪第一中学 武增明 （邮编：653100）

投影是新课程中新加入的内容，主要有中心投影和平行投影两种，其中平行投影根据投影方向与投影面的位置关系又分为斜投影和正投影两种.斜投影是指投影方向与投影面不垂直的一种投影，圆在正投影下的视图仍然是圆，而在斜投影下的视图却是一个椭圆.中心投影是指投射线交于一点的投影，它和平行投影的最大区别是投射线是否交于一点［1］.本文主要介绍在斜投影与中心投影的情况下，由球的投影得到的椭圆的离心率的一组结论.这一组结论会给我们解决这一类问题带来意想不到的“神奇”效果！现用性质的形式叙述并证明.

性质1［1］若水平地面上有一个球，在一束与水平地面成θ（θ≠）角的平行光线照射下，则球在水平地面上的投影——椭圆的离心率e＝cosθ.

性质3 若水平地面上有一个球，在点光源或平行光源照射下，其投影是一个椭圆，则球与水平地面的切点是椭圆的一个焦点［2］.

证明在此略，请读者朋友见文［2］.

例1［1］一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为e＝，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为______.

简解 利用上述性质1可以很容易得到光线与水平地面所成的角是，所以入射角是.

例2［2］一个半径为2的球放在桌面上，桌面上一点A1的正上方有一个点光源A，AA1与球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于______.

例3［1］一只半径为1m的球放在桌面上，切点为O，桌面上一点A的正上方相距6m处有一点光源S，O与A相距 2m，求球在桌面上的投影——椭圆的离心率.

解析 这个题目是上述性质4的一般化，缺少了SA与球相切这个条件使得直接用平面几何性质求解的难度加大，为此，我们考虑建立平面直角坐标系.

以点S、O和C（球心）所确定的平面建立如图4所示的直角坐标系，则C（0，1），S（－2，6），过S作圆C的两条切线SD与SB，交x轴于D、B两点，则BD的长度就是椭圆的长轴长.

例4 一个半径为R的球放在桌面上，切点为T，桌面上有一点A1，桌面上方有一个点光源A（A既不在A1的正上方，也不在球心的正上方），AA1与球相切，点A在桌面上的投影为S，AS＝h（h＞2R），ST＝m，求球在桌面上的投影——椭圆的离心率.

这类问题是上述性质4和例3的一般化，其解答思路方法同上述例3，在此略，留给感兴趣的读者朋友去探究.

例5 一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在t1时刻测得它的影长为4米；在t2时刻的影长为1米.这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，则在t1、t2这两个时刻该球形物体在地面上的两个影子椭圆的离心率之比为（ ）

由球的投影得到的椭圆的离心率问题，解决的理论依据主要是三视图.球的投影椭圆尚存在着许多与上述性质类似的、简捷的、优美的结论等待我们去探究.只要我们在教学中用心、用情细心观察和认真总结，有用的、有价值的、有趣的性质一定会被发现.

1 董成勇.一类球的投影问题的解决［J］.数学通报，2009（4）

2 陆继承，张珍珍.用三视图解决球的投影问题及结论推广［J］.中学数学研究（江西），2012（8）