《函数的奇偶性》教学之我见

山东省滕州市第一中学新校 张 彬 （邮编：277500）

1 问题的提出

2013年9月27日，山东省滕州市数学优质课如期开讲，讲课的课题是人教A版教材必修一中的《函数的奇偶性》.在课堂教学中，对于如何引导学生积极参与教学过程，感受奇偶性概念的生成过程，培养学生学习数学的兴趣等，14位选手各尽所能，于是就有了14种不同的教学设计.笔者有幸作为评委全程参与其中，14节课听完之后，对《函数的奇偶性》这一节内容的教学有颇多感悟，写下来与各位老师共同探讨！

2 感悟

2.1概念教学：统一中的惊喜

《函数的奇偶性》的教学中，绝大多数的选手的教学过程是一样的.现撷取其中几个具有代表性片断作分析.

教学片断1

教师展示生活中一些美丽的具有对称性的图片，如：巴黎的埃菲尔铁塔、中国的太极图、代表喜庆的红双喜、雄伟的故宫等图片.

师：生活中有很多美丽的事物呈现出一些对称现象，我们数学中也有很多对称现象，你能给出几个这样的事例吗？

生：反比例函数图象、正比例函数图象.

师：观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？

生：关于y轴对称.

师：我们下面来研究怎样用代数表达式的形式来描述函数图象的这种对称关系？先来完成下面的对应值表.

生：很快的完成了下面的表格

_x … －3 －2 －1 0 1 2 3…_f（x） … 9 4 1 0 1 4 9__…__x … －3－2－1 0 1 2 3…_f（x）… －1 0 1 2 1 0 －1_…_

师：对于函数f（x）＝x2，我们来观察f（1）与f（－1）关系，有何发现？

生：相等.

师：对于函数f（x）＝x2，我们来观察f（2）与f（－2）关系，有何发现？

生：相等.

师：对于函数f（x）＝x2，我们来观察f（3）与f（－3）关系，有何发现？

生：相等

师：那么在定义域内任给一个数x，f（x）与f（－x）是否也是相等的？

生：相等.

对于学生的猜想，下面老师又用两种不同的方式来验证其正确性：

（1）利用几何画板动态的演示对于函数f（x）＝x2，无论数x是多少，f（x）与f（－x）始终相等.

（2）计算f（－x）＝ （－x）2＝x2＝f（x）.

然后给出偶函数的定义：

对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函数.

点评 以上概念的形成过程，大多数选手的教学设计是统一的，体现出大家对概念教学的认识是一致的.数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题.通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性.

多数选手注重引导学生在体验数学概念产生的过程中认识概念，这是值得欣喜的一面.

教学片断2

师：对于函数f（x）＝x和f（x）＝，我们利用前面的研究方法，来观察对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，f（－x）与f（x）的关系？

生：很快的就发现f（－x）＝－f（x）.

师：就势稍加点拨，即形成奇函数的概念.

点评 偶函数的概念与奇函数的概念应该是邻近概念，因此教学中不应该平均用力.多数选手以学生已掌握了的偶函数的概念为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别和联系.提高学生对数学理论整体性与严密性的把握.不失是一种好的教学处理方式！

邻近概念的教学采取类比的方式，不平均用力.这是值得欣喜的另一面.

教学片断3

师：提出问题：f（x）＝x2；x∈ ［－1，2］是不是偶函数？

生：（争论片刻之后）不是，因为对于这个函数来说f（2）＝4，而f（－2）不存在，因而f（－2）≠f（2），故不是偶函数.

师：变化一下：f（x）＝x2；x∈ ［－1，1）是不是偶函数.

生：仍然不是.

师：那怎么改造，才是偶函数？

生1：改为f（x）＝x2；x∈ ［－1，1］，

生2：改为f（x）＝x2；x∈ （－1，1），

生3：改为f（x）＝x2；x∈ ［－2，2］，

生4：改为f（x）＝x2；x∈R.

……

师：偶函数或奇函数的定义域有什么要求？

生：定义域关于原点对称.

点评 在挖掘新概念的内涵与外延上，采取问题的形式，低起点、密台阶、小步走，逐层深入，给学生留下很深的印象，学生对这一问题的认识也就很深刻.相比直接提问：偶函数或奇函数的定义域有什么要求？然后再用大费口舌，用力解释的教学方式，教学片断3中的这种方式显然更有效率！

采取问题辨析的方式，加深对概念的内涵与外延的认识，这是值得欣喜的又一面.

2.2 两种教学理念的碰撞：一半是海水，一半是火焰

我先谈两种不同的教学理念，以小学中最简单的“1＋1＝2”的教学为例，有两种不同的教学方式：

教学方式1

老师先拿来一个苹果，问：小朋友这是几个苹果？

小朋友们答：1个.

老师再拿来一个苹果，问：小朋友这是几个苹果？

小朋友们答：1个.

然后老师将两个苹果放在一块，问：小朋友现在是几个苹果？

小朋友们答：2个.

然后老师告诉小朋友：这就告诉我们1个苹果再加1个苹果是2个苹果，即1＋1＝2.

然后老师可能再拿来些别的东西，比如铅笔、橡皮之类的东西，不段重复前面的过程，让小朋友们感悟到一个苹果再加一个苹果是两个苹果，抽象到数学中就是1＋1＝2.

教学方式2

老师：小朋友你们知道1加1等于几吗？我来告诉你们1＋1＝2.

老师板书1＋1＝2，然后老师说：让我们一块来念1＋1＝2，1＋1＝2，……

直到老师提到1＋1，小朋友们条件反射式的说出等于2.

《函数的奇偶性》是一节课，14位选手对这一节内容的处理，无外乎以上所提到的两种教学方式.多数选手注重概念产生、发展的过程，并且通过自己的设计，让学生亲历这一过程.在概念的形成过程中不惜花费大量的时间和精力！但是个别选手轻视这一过程，一上课就呈现一组题目，美其名曰：预习检测！然后给出偶函数与奇函数的概念，要求学生记下，随之就是如何进行奇偶性判断的大量题组练习！

我们姑且先不评价以上两种处理方式的优劣！我想请各位老师先思考这一问题：在“1＋1＝2”的教学中，如果考试中考到1＋1＝？，采用教学方式1的老师的学生考试成绩好呢？还是采用教学方式2的老师的学生考试成绩好呢？

我想一定是采用教学方式2的老师的学生考试成绩好！这也就不难解释为什么有选手采取方式2进行《函数的奇偶性》的教学了.当前的教育形式下，过分强调学生考试成绩，用学生成绩作为考评老师的重要指标.学生考试分数成了老师的命根，所以就有老师刻意的追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，并誉名“快节奏、大容量”.实际上这是应试教育下典型的舍本逐末的错误做法.

我想再提一个问题：在“1＋1＝2”的教学中，如果考试中考到的不是1＋1＝？而是“1＋2＝？”那么请问采取哪一种教学方式的老师的学生考试成绩更好？

我想一定是采取教学方式1的老师的学生考试成绩好.现在的高中教学越来越强调培养学生能力，高考命题也越来越灵活.如若对基本概念只是死记硬背，学生对概念的理解只是机械、零碎的认识.没能正确理解数学概念，也就无法形成数学能力！在这种情况下学生只会模仿老师解决某些典型的题目，一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策.

因而我们有理由认为：在高中数学教学中，我们对数学知识的教学还是应该采取教学方式1.

2.3 活动结束后的反思：一点微微的遗憾

纵观所有选手的课堂结构，均是以下程序，无一例外.

在形成奇（偶）函数的概念，解决了怎样判断函数的奇偶性这一问题以后，笔者以为这一节课还有一点东西没能解决.对于教材中为什么安排《函数的奇偶性》这一节内容，可能参赛选手思考得比较少.而仅仅考虑到为了应试的需要，只要让学生理解了奇偶性的定义，掌握了判断函数的奇偶性方法，教学目标就达成了.

我认为对于教材中为什么安排《函数的奇偶性》这一节内容，还要多挖掘一下.个人认为教材安排《函数的奇偶性》另有目的.目的就是想告诉学生：奇偶性是研究函数的一种工具.奇偶性就是对称性，如果有一个函数我们能够判断它具有奇偶性，我们在研究它的性质时就没有必要研究这个函数在整个定义域上的情况，只要知道它在半个定义域上的情况，就可以由对称性，知道它在整个定义域上的情况！这应该是函数奇偶性的价值所在，遗憾是14位选手的教学都没有体现这一点.

而在教学中要体现这一点应该还是比较容易的.比如我们可以设计这样一个题目来体现奇偶性的作用.

题目 已知函数y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）在［0，＋∞）有最大值5，你知道函数y＝f（x）在（－∞，0］上最小值吗？

根据对称性，我们很容易地知道函数y＝f（x）在（－∞，0］上最小值为－5.

教师可以就这一题目提出问题：你能通过这一题目，感受到我们研究函数的奇偶性有什么价值和意义吗？

通过这一问题的解决，让学生体味到函数奇偶性的价值所在，数学的应用性也就体现出来了！这应是这节课的点睛之笔！

3 小结

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”.因此在《函数的奇偶性》的教学过程中，要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉获取事物的本质属性和规律，从而形成新的概念.这样学生在获得概念的同时，还培养了抽象概括能力和创新精神，同时也使学生从被动地“听”发展成为主动地获取和体验数学概念，自主建构知识的过程.这样才能充分体现以学生为本，尊重学生主体地位的教学理念，同时也促进学生学习方式的转变和优化.

数学教学承载着数学的文化功能，数学中许多具体知识将会被大多数人遗忘，但数学的文化却伴随着学习者的后续学习、生活和工作，其影响深刻而久远.因而如果我们在教给学生知识的同时，再渗透给学生研究问题的方法，我们的数学教学将更有内涵.