如何打好函数概念这张牌

北京市第八十中学 索云旺 王贵军 张启华 魏 静 （邮编：100102）

山西长治第二中学 张锐军 （邮编：046000）

1 问题的提出

随着高中新课改的深入推进，函数作为整个高中数学课程的一条主线，并贯彻于高中数学教学的始终，这一点老师们的认识越来越清晰和深刻.函数概念是中学数学的核心概念之一，如何打好函数概念这张牌，自然也引起了广大教师的高度重视和广泛关注.

我们课题组（成员：廖爽、魏静、田丽、陈国栋、王海霞、李丁、宋群霞、郭豫、周开炎、王坤）在认真研读数学课程标准与教材以及学习有关函数概念历史演变的基础上，进行了广泛调研，发现老师们对函数概念的认识仍需提高，课堂教学仍有许多需要改进的地方.以下仅就函数概念课堂教学目标的确定与构建，以“知识”为载体，以“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的课堂教学基本模式谈点浅见，教学过程部分给出课堂教学实录，供同仁参考.

2 课堂教学目标的确定

众所周知，《普通高中数学课程标准（实验）》是国家管理和评价课程的基础，也是教材编写、教学、评估和考试命题的依据.因此，教学活动应该而且必须按《课标》展开.而《课标》并未明确给出具体的课堂教学目标，这就要求我们教师根据《课标》“前言”、“单元目标”、“说明与建议”、“参考案例”、教材、教学内容在教材所处的地位与作用、学情分析的基础上，确定课堂教学目标.《高中数学课程标准》对函数概念课堂教学提出的要求与建议为：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；构建函数的一般概念.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.［1］那么，在课堂教学中，如何落实以上两个“体会”？又如何构建函数的一般概念呢？显然，两个“体会”是构建函数一般概念的基础，如果真正“体会”到了，那么构建出函数一般概念自然是水到渠成的事了.

2.1 如何进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型

普通高中课程标准数学实验教材人教版A、B版、北师大版、苏教版、鄂教版在引入高中函数概念时，均是通过如下4个步骤来实现：（1）回顾初中函数概念；（2）列举3～4个函数实例；（3）用集合与对应的观点对实例中的函数进行解读；（4）陈述高中函数概念.即教材的呈现方式为（记作 Ⅰ）：

我们课题组外出调研、听课中发现老师们的课堂教学内容也是基本上通过选用本呈现方式实现《课标》要求的.课堂教学中师生活动为：师生共同回忆初中函数定义，教师提问每个实例中有几个变量？变量之间有怎样的关系？然后，在学生回答一个又一个问题后，教师给出高中定义，并反复解释引入函数符号f的意义，至此完成高中定义的学习.这样的教学过程，表面上看学生积极主动地参与了函数概念的形成过程，但是学生只是各项指令的机械执行者，并不知道整个活动的目的，学习处于被动的接受状态，尤其是对引入符号f感到困惑不解，因而很难形成深刻的思维活动.我们认为这样的教材呈现方式与教学方式很难达到《课标》要求.另外，这样的呈现方式（Ⅰ）还极易给人造成“高中定义”比“初中定义”更高级、更严格的误解，从而被多数教师认为“初中定义”是“高中定义”教学的恰当起点.

众所周知，初高中两个定义本质是一致的，如果说两个定义不同的话，那就是把“初中定义”中与x对应的数y通过引入“对应关系”符号f，换成f（x），就演变为“高中定义”，其它什么都不能说.这样，我们的教学内容是否可以如下框图呈现（记作II）：

由框图（II）可以看出：“高中定义”教学的起点：或者是两个变量间的对应关系，或者是两个变量间的依赖关系（包括变量概念），甚至是对现实世界中运动事物或变化现象中变量的分析.对此，我们课题组设计了2012年秋季9月1号开学的新高一和新高三调研题（附后）各100份，进行了教学前的测试和统计，发现面对实际情境能“鉴别”出其中的变量并用字母表示，高一占10%，高三占20%；能自觉分析哪些变量之间存在依赖关系，并用一个变量表示另一个变量者，高一占4%，高三占11%.可见，给出实际问题，让学生自觉运用数学的眼光，观察并发现运动事物或变化现象中哪些是变量（呈现方式（II）），在此基础上形成“一个量依赖于另一个量的变化而变化.”这样的表述，根据我们的调查是困难的.史宁中教授指出这是抽象的第一层次，即“直观描述”，直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力是养成的，养成却是依赖于经验的，如果把能力应用于对事物的抽象，就构成了抽象能力，因此抽象能力的养成也是依赖经验的.［2］史教授反复强调：“应教会学生养成从头想问题的习惯，以后就能发现问题了.问题要有一个转换过程，学会先把现实中的问题通过语言抽象，抽象成一个科学的东西，这个过程对小孩子是非常重要的.”［3］弗赖登塔尔也认为：数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实.［4］在这个过程中，真实与数学之间的翻译转换是主要的数学活动.（参考Freudenthal，1983，vomHofe，1998）

我国数学教育学家刘亦珩在20世纪30年代就指出：教师在数学教学过程中一定要做到：“不是学生暗记定义，不应该使学生机械的应答所发生的问题；必须使学生注意一量与他量的关系，或一量为其他数个量所决定的实例；且随时使学生考察其间的关系，及其相互作用.”［5］

王尚志教授建议教师从三个角度帮助学生不断地加深对函数概念的认识.其中第一个角度是变量与变量的依赖关系.他指出：“思考问题时，什么是不变的，什么是变的，发生变化的量之间有没有关系，如何来描述这些变量与变量之间的依赖关系，这些思考，不仅在高中数学学习中、大学数学学习中以及在数学的应用中，都是非常重要的.对变量之间的依赖关系的认识，有人把它当做认识函数的低级阶段，这种看法是值得商榷的.”［6］著名数学家克莱恩说过：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.”

基于以上分析，我们课题组认为：“高中定义”与“初中定义”有着共同的教学起点：“鉴别”出现实世界中运动事物或变化现象中的变量（对变量概念的再认识）以及推断两个变量之间的依赖关系，这样才是更本源更原始问题的讨论.

事实上，呈现方式（II）是将呈现方式（I）中对数学模型的认识，变为建立数学模型，因此对学生的认知能力、思维能力要求更高，也更能激发学生学习兴趣和积极性.这样，学生的学习，不仅从机械的接受学习变为有意义的建构性学习，而且在经历“再创造与再发现的过程”中，学生的灵性得以释放，数学体验得以生成，创新意识得到发展.［7］

其实，呈现方式（II）是符合认知科学和认知心理学原理的.在布鲁姆教育目标分类学修订版中，将知识分为事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识，认知过程的水平从低到高，分为记忆、理解、应用、分析、评价、创造六个层次.关于新授课的教学通则是：知识类别与认知过程存在着对应关系，即事实性知识常被记忆（回忆）、概念性知识常被理解、程序性知识常被应用.布鲁姆指出：“我们教学时，想要学生学有所得，我们想要学生学习习得的东西作为我们的教学结果，就是我们的教学目标.”变量概念与函数概念（初中定义）属数学事实与概念性知识，所以在初中学生的学习结果（教学目标）：变量概念与函数概念被记忆与理解是恰当的，这也是初中义务教育课程标准（2011版）的教学要求.但学生经过初三中考复习，认知能力得到提高，所以我们采用了布鲁姆的学习问题通则是“用复杂的认知过程去帮助实现较简单的目标.”［8］即用“鉴别”（同“区别”，是认知过程“分析”的第一亚类）、“推断”（理解的第五亚类）和“应用”的认知过程来实现对变量概念（“鉴别”出现实世界中运动事物或现象中的变量）以及函数概念（“推断”出两个变量之间的依赖关系并“应用”方程式表达这种关系）的回忆、理解.也就是说相同的教学内容，不同的认知要求所采用的教学策略、教学测评等是不一样的.换句话说，在初中函数概念新授课中需要学生达到理解水平，那么在教学策略使用中多考虑精加工策略、组织策略等，以促进学生通过主动建构概括和理解概念；在高中定义学习阶段，需要学生达到应用水平，那么在教学策略使用中更多利用独立练习、过渡练习、变式练习等，以促进学生在新情境中迁移水平的提高.美国“QUASAR”计划的研究者在观察中发现：“高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高.”［9］

需要特别说明的是，在上述讨论中，我们对《课标》中描述过程目标的行为动词“体会”一词进行了“认知化”处理，将其转化为《课标》中描述结果目标的行为动词“理解”.根据我校学生的学习水平以及函数概念在本单元、模块1，乃至在高中数学中的典范作用，又对布鲁姆教育目标分类学修订版中认知过程程度“理解”的七个亚类—— 解释、举例、分类、总结、推断、比较、说明，选取了第五个亚类“推断”（这一过程实际上是将“理解”这一内隐的心理活动动词，转换成了相应的外显性行为动词“推断”）并进行了扩展，组成了“鉴别”、“推断”和“应用”的复杂认知过程来实现《课标》目标：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型.

2.2 如何体会对应关系在刻画函数概念中的作用

“体会”某事物的作用，实际上是对某事物进行“评价”，（“评价”是布鲁姆教育目标分类学修订版中认知过程类别中的第五个认知水平），而“评价”有两个亚类 ——检查、评论（判断），在这里是“判断”，即能正确“判断”（评论）对应关系在刻画函数概念中的作用.根据学生的学习水平，我们仍用“用复杂的认知过程去帮助实现较简单的目标.”即用“分析”、“判断”与“创造”这样的认知过程类别实现《课标》目标：体会对应关系在刻画函数概念中的作用.具体说就是通过“分析”将两个变量之间的“依赖关系”换一种等价说法：即两个变量之间的“对应关系”.在唤醒学生对“初中的定义”回忆的同时，借用“初中定义”判断所给几个实例（其中包括可求出解析式，图象、表格）中的“对应关系”是否是“函数关系”的机会，让学生“判断”（评论）两数集中两个变量之间的“对应关系”是“初中定义”中的变量y是变量x函数的关键要素，与是否在“对应关系”下用变量x表示出变量y无关.但在有些“对应关系”下的两个变量确实可以用变量x表示出变量y.（一定要通过实际问题让学生亲自动手练习用x表示出y）那么，在用图象、表格表示的“对应关系”下的两个变量是否也能做到“用变量x表示出变量y”的问题油然而生.教师因势利导地提出：两个数集中两个变量之间在三种类型（解析式、图象、表格）的“对应关系”下，又怎样一般地用变量x表示出变量y呢？通过运用复杂的认知过程与上述元认知提问，学生自然产生一种用符号表示“对应关系”的心理需求，创造性地引入符号f表示“对应关系”不仅成为可能而且水到渠成.

综上所述，为较好地实现《课标》目标，根据知识的内在规律，顺应学生的认知规律，我们确定函数概念课堂教学目标如下：从实际情境中“鉴别”出变量及“推断”两个变量之间的依赖关系作为课堂教学起点目标；“判断”对应关系在刻画函数概念中的作用，创造性地引入符号f是使能目标；形成函数的一般概念，获得y＝f（x）为课堂教学终点目标.教学实践表明，对函数概念的学习目标定位在构建函数模型的层次上，不仅能使学生较好地了解函数概念的来龙去脉，深刻理解函数概念本质，而且为学生学会用函数的思想分析问题，解决问题奠定了坚实的基础.

2.3 为什么强调让学生经历数学概念的形成过程

《普通高中数学课程标准》对概念教学提出的教学建议：数学教学中要引导学生经历从具体事例抽象出数学概念的过程，注重体现基本概念的来龙去脉.这又是为什么呢？

概念是简化世界的类目，是将一系列物体、事件和思想进行分类的心智结构，它们占据了学校课程很大部分的内容（Klausmeier，1992）.

概念是重要的，概念反映思想，但概念并不出思想，不是通过概念的变换产生思想的，相反，思想产生概念.思想不出自概念，而概念则出自思想.比起概念来，思想内容更重要；比起形式定义来，概念实质含义更重要.［10］数学在其自身的发展进程中早就成功地孕育着、蕴涵了诸多科学的客观规律.概念是思维的一种形式，概念的形成过程与思维过程中使用的方法是一致的，这些方法既是数学研究的基本方法，也是教学的方法.［11］徐利治院士指出：揭示“知识发生过程”的教育有助于培养创造性.［12］对数学概念的学习，总是在经历着从相对具体到相对抽象和从相对抽象到相对具体的运动，在不同层次的抽象之间运动着，反复地运动着.因此，数学概念的教学，非常重要的任务之一是让学生习惯与不同层次的抽象打交道，熟悉抽象，甚至喜欢抽象.即便如此，学生仍是在与相对具体东西打交道过程中进行抽象思维的.［13］

因此，数学概念的学习过程，不仅是学生主动建构知识的过程，而且也是学会数学思维，发展数学能力，感悟数学思想，积累数学活动经验的过程.也就是说通过概念教学可以落实培养能力和提高素养的目标.

2.4 概念教学中主要培养学生的数学概括能力

著名思维发展心理学教授林崇德说“数学能力就是概括能力”.苏联著名的心理学家克鲁捷茨基等通过实验研究证实：“概括能力是数学能力最重要的指标，在数学学习中很容易成功的学生往往是因为他们具有较强的概括能力”.［14］在数学学习中，抽象和概括被认为是数学活动中的主要逻辑方法，学生数学学习水平的高低与学生抽象概括能力的高低有直接的关系.［15］数学的历史展示了数学理论的形成和发展也是一个不断概括的过程.这表明概括是研究数学的基本思想方法.因此，学习数学必然需要概括，数学概括能力是学生学习数学的必要条件.［16］从迁移的角度来看，心理学认为：“迁移就是概括”.概括的层次越高，迁移的半径就越大.正如曹才翰教授所说：“在教学中，与其说‘为迁移而教’，不如说‘为概括而教’”，此话深刻地说出了教学中培养学生数学概括能力的重要性.

事实上，人类社会现有的概念（当然包括数学概念）都是在人类社会历史发展的过程中，随着劳动实践和社会经验的积累，在经验概括的基础上形成的.［17］

章建跃先生多次指出数学概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性，抽象概括共同本质属性，归纳获得概念等思维活动.因此，在概念教学中应落实以培养学生数学概括能力为主的能力培养目标.

3 构建以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的概念课堂教学基本模式

本着“教与学对应”的原则，数学教育要把研究“学生的学”放在首位.本着“教与数学对应”的原则，数学教育则要把研究“学生对数学的学习”放在首位.本着知识传授与能力培养相协调的教学原则，我们课题组设计了以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的概念课堂教学基本模式（见如下框图），完成概念的教与学.

当然，教学设计时，应根据具体数学概念的特点，在改造本模式基础上，构建更切合实际的教学模式.

教学过程中，针对不同的概括内容（如数学符号的意义、数学关系、数学结构、运算与推理、数学思想方法等）突出数学观念在指导数学思维过程中的作用，协调各种数学能力，树立概括意识，把握概括方向，遵循概括的阶段（观察阶段、抽取阶段、筛选阶段、推广阶段、确认阶段），灵活运用概括的方式（归纳式概括、类比式概括等）分阶段、分类型帮助学生构建起对数学概念学习时进行概括的完善的认知结构，引导学生自主发展数学概括能力.邵光华先生在其《数学思维能力结构的定量分析》一文中指出了数学概括能力主要由形成数学概念的概括能力、形成数学通则通法的概括能力和迁移概括能力三种能力因素构成，且后两种能力起主导作用决定着总体概括水平.

因此，在课堂教学中，函数概念形成环节（“现实 → 依赖关系 → 对应关系 → 引入f→f（x）→函数概念）主要是引导学生自主发展形成函数概念的概括能力.函数概念理解、运用、巩固、深化环节（若干数学对象 → 共同特征 → 规律），主要是引导学生自主发展形成通性通法的概括能力与迁移概括能力.当然，数学概括能力的培养要与其它能力的培养同时进行，使其协调发展.（待续）

1 教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003

2 史宁中.数学的抽象［J］.东北师大学报（哲学社会科学版）2008，（5）：180

3 史宁中.注重“过程”中的教育 ——义务教育数学课程标准修订的若干思考［J］人民教育2012.7

4 弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学［M］.刘意竹，杨刚译.上海：上海教育出版社，1999

5 李春兰.刘亦珩的数学教育思想［J］.数学通报，2012，51（9）：9

6 王尚志.高中数学课程中的函数［J］.中学数学教学参考.2007，（7）：8

7 索云旺等.论数学体验及其生成［J］.数学教育学报，2004，13（1）：77

8 蒋小平等.布鲁姆教育目标分类学修订版［M］.北京：外语教学与研究出版社，2009：184

9 Stein M K，Smith M S.Mathematical Tasks as a Framewor k for Reflection：From Research to Practice ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School，1998，3（4）：268–275

10 张楚廷著.教学论纲［M］.北京：高等教育出版社，2000，11

11 曹才翰编著.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，1990，1

12 徐利治.徐利治谈治学方法与数学教育［M］.大连大连理工大学出版社，2007，12

13 张楚廷.数学教育心理学［M］.北京：警官教育出版社，1998

14 曹才翰编著.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社.1990，1

15 克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学［M］.上海：上海教育出版社，1983

16 索云旺.高中学生数学概括能力培养的实验与建议［J］.中学数学教与学，2001（6）：9

17 蔡金法.关于学生数学概括能力发展差异的实验研究［J］.数学通报1988，（3）：37