初中数学问题设置的常见误区及对策研究

上海市老港中学 王元友 （邮编：201302）

笔者作为上海市浦东新区九年级数学中心组的成员，参与了区级的历次数学听评课活动.这些课既有名师、骨干教师的展示课，也有青年教师的职称评审课，还有各个学校的教学评选课等，笔者在听取完各类各层次的课后，感觉有喜有忧，喜的是二期课改的理念已经渗透至我们数学教师的课堂中，忧的是这些课堂依然存在着诸多不足，如课堂问题设置的不足等.本文拟从课堂问题的设置角度对笔者听评课过程中发现的问题予以评析，期望能够起到抛砖引玉的作用，引起更多数学教师的关注.

1 重视数学问题设置的意义

笔者在教研过程中发现：部分教师问题设置过于简单以至于学生思维价值不大，部分教师问题坡度设置不合理以至于学生思维有障碍，部分教师问题设置合理但是没有给予学生合理的思考时间等.所以我们需要关注数学课堂教学过程中的问题设置，从中汲取成功经验，反思不足，以便于提升数学教学质量.

叶澜教授曾提到“好的数学问题是驱动学生思维的有效载体，数学教师关注数学课堂教学过程中的问题设置是新基础教育的成功的关键指标之一.”初中数学教师如果能够设置恰当的问题将有助于开拓学生的思维，提高学生运用数学知识解决问题及语言表达能力；有助于把握课堂的生成性资源，不断调控课堂教学，从而平衡教学内容的预设及生成关系.

笔者认为，数学教师备课时所设置合理的数学问题需基于最近发展区理论、具备一定的思维价值、学生通过小组合作或者教师的诱导可以发现问题解决的方式或者能够获得答案才是好的数学问题.

2 数学课堂问题设置的常见误区

苏霍姆林斯基曾说过“思维是从疑问开始的，只有敢于质疑与思考才能够实现教学创新”.数学教学尽管是一门遗憾的艺术，但是在遗憾中我们如果能够学会提出问题，就能够成为数学教研过程中引导教师专业化发展的新的生长点.纵观笔者的听课过程（教学片断根据听课过程记录如下），数学教学过程中问题设置的常见问题如下：

2.1 数学问题指向不明确

问题设置的主要目地是引导学生思考的方向，诱发学生解决问题的积极性，以便于落实学生的主体地位，形成活动课堂，提升课堂探究的实效性.笔者在听课过程中发现有部分数学教师问题设置的指向不明确、含糊不清，以至于学生无法基于提出的问题作出合理的思考及时作出回答.

案例1 《相似三角形判定（2）》课堂教学实录片断 ……，师：如图，在ΔABC和ΔA′B′C′中，∠A＝ ∠A′.根据边角边（SAS）判定条件来判断ΔABC和ΔA′B′C′全等，还需要添加什么条件？

生：还需要添加条件：AB＝A′B′，AC＝A′C′，

在ΔABC和ΔA′B′C′中，因为∠A＝ ∠A′，AB＝A′B′，AC＝A′C′，

所以ΔABC≌ΔA′B′C′.

那么ΔABC和 ΔA′B′C′是否还全等？（在刚才的板书中改写）

所以两个三角形仍然是全等的.

师：回答的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？

（学生思考）……

生：相似吧，因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.

（教师把刚才板书中的ΔABC≌ΔA′B′C′中的“≌”改成“∽”.）

改动后的板书：

在ΔABC和ΔA′B′C′中

师：的确如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例（比值为1），并且夹角相等.那么这两个三角形相似.

师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现和创造.

那么对于三角形相似的条件，你们有什么大胆的猜想呢？

……

评析 相似三角形判定定理2的教学内容是学生已学过相似三角形判定的预备定理和判定定理1的基础上进行学习的.如果脱离了上海教育出版社出版的初中数学教材的编排体系来看，本课时为了引入判定定理2的设置的问题很合理，从学生的实际学情出发，用已有的全等知识逐步的诱导学生从特殊到一般，猜想出判定定理2的内容，进而验证论证符合数学定理教学的模式.我们推敲授课教师的最后问句：三角形相似的条件到底是什么？授课教师需要什么样的答案呢？我们听课教师就课论课都知道他的教学期望是什么，但是如果学生给出三边对应成比例或者直角三角形中斜边与直角边成比例等课堂生成性资源，教师该如何处理？等，固然教师可以凭借教学机智解决问题，但是这里面就暴露了课堂问题设置的问题第一个常见误区，问题设置的指向不够明确.

问题不明确，随心所欲，表面热闹，华而不实，一问一答，频繁问答.其结果是问答中充满了大量的是非问和填空问.不少问题根本不需要思考，有的甚至“照本宣科”就能应答自如，看起来课堂上热热闹闹，而学生思维的效率极低.所以笔者建议数学教师设置问题务必严谨，问题的指向性要明确，为学生指明思考的方向，才能够把学生的学习兴趣吸引到数学课堂中来.数学教师只有能够设置合理的数学问题，才能够诱导学生参与到课堂教学互动之中来，才能够通过合理的互动在解答教师所设置的问题，通过过程性目标的实现来达到解决问题的教学目地.

2.2 数学问题设计没有基于学生的最近发展区

问题设置的浅显，对于学生的思维没有价值，问题设置过难，可能会获得冷场的场景.数学教师基于学生的最近发展区所设置的问题，学生最好跳一跳经过自己的思考能够解决问题.即使问题有一定的难度，如果教师能够设置合理的坡度，那么学生通过小组合作也能够解决.

案例2 两位教师《锐角三角比（2）正弦、余弦》课堂教学实录片断

青年教师教学片断

青年教师采用导学单式教学模式，先学生自学，然后开门见山的采取讲授式教学，直接提问，我们今天将学习什么内容？学生由于预习过了，所以直接说出今天学习锐角的正弦、余弦.然后教师提问：锐角的正弦、余弦的定义是什么？你能够借助图形给予说明吗？……

骨干教师教学片断

师：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是多少？

生：1∶2

师：在 RtΔABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

师：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值为

评析：授课教师通过强调含有直角三角形中30度角和45度角所对的直角边和斜边的比值，采取从特殊到一般的研究方式来归纳总结直角三角形中锐角固定，比值也固定.

学生自学探究

师：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：任意画 RtΔABC和 RtΔA′B′C′，使得∠C＝ ∠C′＝90°，∠A＝ ∠A′，两三角形有什么关系.你能解释一下吗？

生：可以看出这两个三角形相似，所以有与相等.

师：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.

评析 授课教师通过在直角三角形中有一个非直角相等，那么这两个三角形相似，得出相应的边的比相等，说明在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值，呼应了一般意义下锐角三角形的比值不变性的本质.

师：下面我们来认识一下锐角的正弦概念：在RtΔBC中，∠C＝90°，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c.在RtΔABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝.

评析 通过青年教师和骨干教师的两节课的正弦概念的引入可以发现，无论采用何种教学模式，给予学生最近发展区的问题设置才是最关键的.青年教师可能囿于自己的教学经验、对于数学教材、数学课程标准的把握等，他的问题设置表面看采取了流行的学案导学模式，充分借助导学案的导学导思的特点来教学，但是一个锐角的正弦的定义采用讲授式教学模式不利于学生对于数学本质的理解.我们再观察骨干教师的展示课，可以发现其基于一个锐角的正弦的本质定义出发，从特殊到一般，进而从相似的角度进行论证，直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比是一个定值，即锐角的正弦值只与该锐角的大小有关系，与锐角的对边与斜边无关，这样就清晰的引入了锐角的正弦的概念及其本质.学生对于特殊锐角的性质和相似三角形的性质相当熟悉.

忽视学生的年龄特征，问题情境设计脱离学生，学生难以理解和接受，学生思维难以展开，不知朝什么方向思考，都会影响教学效果.所以笔者建议，初中数学教师设置数学问题一定要在充分研究数学教材和数学课程标准的基础上再基于学生的最近发展区设置问题，才能够借助师生互动的过程帮助学生建构新旧知识的联系，达到掌握新知的目的.

2.3 数学问题设计深度与广度有待商榷

心理学家将问题从提出到解答的过程称为“解答距”，就是让学生经过一段时间的思考才解决问题，让思维的“轨迹”有一段“距离”.这里我们不得不思考这段思维的轨迹，在数学问题的设置上，我们如果要给予学生足够的解答距，让学生思维的轨迹得到展示，就需要教师在数学问题设置的深度与广度上做文章，即诱导学生对于数学问题的解决经历模仿、变式、反思、自觉分析这样一个过程，才能够促进学生思维能力的养成与提升.

案例3 《解直角三角形的应用（2）》课堂教学实录片断

例：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？

该授课教师先让学生自己根据题意构造图形，再引导学生将已知条件标注到图上后再分析，由已知条件可知α＝30°，β＝60°，AD＝120，在RtΔABD中，α＝30°，AD＝120，所以可利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC的长.即采用先分析后板演的教学模式，从某种意思上，这样的教学模式应该是严谨的，渗透了先学后教、融入了师生互动等二期课改理念.那么我们能否在这样一个看似无缝的教学片断中，站在教学研究的角度提出问题呢？我们认为本题给予学生的思维空间还可以开拓，即数学问题设计的深度与广度还可以进一步挖掘，给予学生充分的解答距.

如何给予学生充分的解答距呢？如我们可以从本题出发进行变式：

变式1 热气球继续升高一定距离后探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的俯角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？

变式2 热气球继续升高一定距离后探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的俯角为α，看这栋高楼底部的俯角为β，热气球与高楼的水平距离为a米，这栋高楼有多高？

学生经历这样一组题组式训练后，其思维的深度与广度得到拓展，解答距促使学生对于仰俯角的概念及解直角三角形的应用问题形成解题经验的积累，学生经历模仿、变式、反思和自觉分析的过程，可以更加有效的帮助他们融会贯通数学知识与技能.

基于上述课堂教学模式，所以笔者建议数学教师设置问题是要从学生的实际出发，合理设置问题，帮助学生增加思考的阶梯，即做到无梯时架梯、有梯是增加梯子的密度.问题由浅入深、坡度逐步减小，才能够启发学生，顺利帮助学生解决问题.

3 数学课堂问题设置的对策研究

常见的数学问题可以分为四类：一是认知记忆类问题，即简单的再现或回忆已学知识的问题；二是认知集中类问题，即只有一种解答方式或者需要经过回忆思考的问题；三是分歧类问题，即能够引起学生思考并且形成多种解答方式和答案的启发性思考题；四是评价类问题，即学生需要运用所学知识、能够对所给问题作出分析判断并说明理由的问题.数学问题设置的方法很多，角度也很多，不可能有统一的模式，教无定法，但是教要得法，问题设置有法.即数学课堂问题设置要遵循教育教学的规律，遵循数学教材及上海市中小学数学课程标准的要求，可以从以下方面做出问题设置的改进.

3.1 以学定教 注重数学问题设置的分层

根据初中数学教材、课程标准和学生的实际学情对于教材进行建构，尤其是精心的对每一课时的教学内容进行构建是进行高效教学的关键.这就尤其需要数学教师能够针对教学内容注重数学问题设置的分层，关注各层次学生的发展.为了避免满堂问学生，提问次数过多，教师应当根据学生的思维特点和年龄特征，以学定教，合理安排问题.譬如针对六七年级的学生，我们教师应尽量采用浅显通俗易懂的方式激发学生的学习兴趣，针对八九年级的学生，则注重把握问题的深度与广度来保证各类不同层次学生的收获，以激发全体学生的学习积极性，从而达到培养学生能力、提升教学质量的目的.

3.2 先学后教 留给学生足够的思维时间

在注重数学问题设置分层的同时，我们数学教师还要在把问题抛给学生后留给学生足够的思维时间，否则就会出现过犹不及的情况.时间过短，学生可能还没有思考清楚，问和不问对于中等及偏下学生估计没有区别.所以我们要让学生在接受到数学教师给他们提供的数学问题后能够先学后教，在适当的等待后让学生进行解答，然后针对学生的解答给予点评，要注重课堂教学过程中的再生资源的把握和使用.即如果出现预设外的课堂再生资源，数学教师可以采用追问的方式继续设置问题诱导学生动脑（形成思维的跳一跳）.当学生的回答正确但不充分时，教师要给学生补充另外的信息，以便学生得出更完整的答案.先学后教式的设置问题能够给学生提供机会，让学生在探究过程中获得新认识，提高解决问题的能力，促进思维的发展，同时使学生在情感上感受成功的体验.

3.3 在学中教 师生共同成长

任何备课都可以称之为一种教学预设，纵然教师的素质再好，也不可能完全预设出所有的课堂可能.所以我们数学教师要引导学生的能力养成尤其要关注在学生学习中的教，更加彰显教师捕捉与把握问题进而设置问题诱导学生解决问题的必要性.数学教师设置的问题最好能够是学生没有认真阅读教材和深入思考之前不能够回答的，或者是班级中大多数学生经过个人努力或者小组合作后能够解决的.这样的问题设置才能够说具备一定的深度，这样的问题情境的创设才可以进一步激发学生在学习中成长，教师也在辅导学生学习的过程中与学生一起成长.与此同时，问题设置要面向大多数学生的认识水平，要能够发展学生的思维，这也是评价数学教师问题设置的重要指标之一.

著名心理学家皮亚杰曾经说过：“只有当感性输入与学生现有认知结构具有中等程度的不符合时，兴趣最大.”所以数学教师通过设置好的数学问题将能够最大程度的激发学生的学习兴趣，落实他们的主体性学习地位，才能够最大意义上将学生的思维激活.只有设置有意义、指向明确、有坡度（深度和广度）的数学问题才能够真正意义上提高教学效益.