直线电机的线性自抗扰控制

刘川， 朱非甲， 马伟， 陈兴林

(1．哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨，150001;2．哈尔滨工业大学超精密光电仪器工程研究所，黑龙江哈尔滨，150001)

光刻机的工件台是高动态精密伺服运动平台，它要求在高速运动的情况下，采用长行程直线电机宏动跟随音圈电机高精密微动的驱动方式，在较短的行程内实现平台纳米级的精确定位与跟踪。以ASML已经商用的最先进光刻机Twinscan XT 1950i机型为例，工作时最高速度大于0.5 m/s，加速度大于15 m/s2，定位精度在几纳米左右，稳定时间小于20ms。因此，选择一种能够抗击干扰，准确控制平台运动的控制算法显得尤为重要。自抗扰控制(active disturbance rejection control，ADRC)［1］发挥了传统 PID 控制的优点，而且不依赖被控对象精确的数学模型，在未知不确定扰动作用下，对系统的扰动进行估计并给予补偿，具有较强的鲁棒性。近年来，Su［2－4］将自抗扰控制技术应用到了电力传动，Sun［5］应用到了电力电子，She［6－8］应用到了双台运动控制领域，这些都获得了很好的控制效果。但是，由于ADRC应用非线性控制策略，调试参数多且无明显规律，实际应用中较麻烦。文献［9］基于ADRC思想，以线性化实现形式设计前者各结构，提出了线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control，LADRC)，将带宽作为控制性能的唯一调试参数，简化了计算。

本文将线性自抗扰控制运用到精密运动平台的直线电机控制中，首先建立精密运动平台直线电机的控制模型，规划五阶S曲线轨迹，其次给出了具体线性自抗扰控制算法，再运用前馈对系统的跟踪误差进行补偿，最后通过实验验证该方法的有效性。

1 直线电机控制模型

本文研究的直线电机由气浮导轨导向，用光栅尺测量宏动台与基础框架之间的位移y作为位置反馈。考虑平台中各质量块连接刚度足够，建立等效模型示意图，如图1所示。其中，m为宏动台上所有物体的质量之和，F为直线电机力输入，c为阻尼系数。因为系统由气浮导轨支撑，所以宏动台与气浮台面之间的刚度k，可以忽略不计。

图1 运动平台机械模型Fig．1 Mechanical model of moving platform

直线电机因为其结构和负载形式的不同，其数学模型差别较大［10－13］，本文结合直线电机的具体结构和负载形式，建立了其数学模型

式中:i(t)为直线电机线圈回路中的电流输入;Fd为运动平台的推力扰动;km表示直线电机的力常数。

式中:U(t)表示加在直线电机动子线圈两边的电压;E表示线圈移动时产生的反电势;R表示线圈回路电阻;L表示线圈回路电感。

式中，ke表示和速度有关的反电动势系数。联立解式(1)～式(4)，可得到直线电机位移与控制电压之间的传递函数为

2 轨迹规划

为达到高精度点对点轨迹规划，采用五阶S曲线轨迹。相比低阶轨迹，五阶轨迹的轨迹轮廓更光滑，对基础框架冲击更小，振动更少，达到的位置精度更高。图2所示为一种典型的五阶加速轨迹，改变给定的约束条件，amax，jmax，dmax和 fmax都可能不存在，因此轨迹规划存在很多种可能情形。各时间段计算为式中:f0，d0，j0，a0，v0，x0为初始边界条件;t为时间。

图2 五阶点对点运动轨迹Fig．2 Fifth-order trajectory planning

3 控制系统设计

自抗扰控制器一般由微分－跟踪器(TD)、扩张状态观测器(ESO)和非线性组合(N－PD)等3部分组成［14］。微分－跟踪器用来跟踪系统输入信号，并给出准确的微分信号;扩张状态观测器用来对系统的状态和扰动进行估计;非线性组合获得控制量，并对扰动进行补偿。

3.1 扩张状态观测器设计

和传统的自抗扰控制器相比，本文设计的控制器，没有TD。一个原因是台体的运动轨迹是已经完全规划好的五阶S曲线，其微分信号可以提前获得;第二个原因是微分－跟踪器的算法尽管运行很快，但依然会引起轨迹时间上的延迟，带来误差。本文设计的线性自抗扰控制器框图如图3所示。

由式(5)可知，系统为三阶系统，

图3 线性自抗扰控制器框图Fig．3 Architecture of the LADRC

因为最后的实现是由计算机来完成，四阶的ESO离散表达式为

式中:ε0为ESO观测到的误差;k为采集点数;z1，z2，z3，z4为 ESO 输出;h 为步长;β1，β2，β3，β4为 ESO控制参数，将大小确定［9］为

因为系统为四阶，所以n=4，则

其中，ω0记为ESO的带宽并由极点配置得到。状态观测器的观测速度越快，系统中的扰动就越容易被观测到，控制器就能及时的补偿掉这部分干扰，但是，状态观测器观测速度过快，会引入传感器的高频噪声，而且采样频率也限制了观测器的速度。因此，选择合适ω0的成为必要。

3.2 控制律设计

因为状态观测器设计为4阶，控制律设计为

其中:ωc为系统闭环带宽;ω0=3 ～5。带宽越宽，高频成分通过的多，输出的复现精度就越高，控制系统的性能就越好。但是，带宽过高，会引入传感器的高频噪声，而且还会引起机械的谐振。因此，选择合适的带宽ωc很重要。这样的参数法选择方法，使设计得到简化。

3.3 前馈补偿器设计

为了分析系统在频域的性能，将系统的方程写为连续形式［1］，并化简为单位反馈形式，控制框图如图4所示，w为系统扰动。式(9)的连续形式为

式(12)的连续形式为

图4 线性自抗扰控制系统框图Fig．4 Block diagram of LADRC control

在图4中，Gr(s)为含有自抗扰的等效输入信号传递函数，Gc(s)为含有自抗扰的等效开环传递函数，Gp(s)为控制对象的传递函数。

不考虑扰动w引起的误差，系统的误差为

为减少系统的误差，引入前馈补偿，加上前馈Gr(s)后的控制框图如图5所示。

图5 复合控制系统框图Fig．5 Block diagram of combined control method

等效系统的闭环传递函数为

不考虑扰动w引起的误差，加上前馈补偿器后的系统误差为

要使E'(s)最小，则

如果上式成立，则前馈控制完全补偿了系统误差，E'(s)=0;前馈补偿实现了对输入信号的误差全补偿，提高了系统的控制精度。但是，前馈补偿的式子一般均具有比较复杂的形式，故全补偿条件的物理实现有困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使前馈补偿的形式简单并易于物理实现。

从控制系统稳定性的角度来看，没有前馈控制时的反馈控制系统的特征方程，与有前馈控制时的复合控制系统的特征方程完全一致，表明系统的稳定性与前馈控制无关。因此，此复合控制系统也很好地解决了一般反馈控制系统在提高控制精度与确保系统稳定性之间存在的矛盾。

4 实验

实验平台的电机采用线性无刷直线伺服电机BLMC－192－A，行程为200 mm，电机连续推力93.6 N，峰值推力542.8 N;运动控制卡(PMAC)为自制版卡，采用TI公司的TMS320C6416型DSP芯片，主频1 GHz;光栅尺定位精度±0.2 μm，运动平台质量m为9 kg。反电动势常数ke为26.89 V/m/s，力常数km为33.09 N/A，25℃时电阻值R为6.4 Ω，电感值L为1.9 mH，将以上参数带入式(5)，得到控制对象的传递函数。取 b0=3，ωc=30 Hz，ω0=150 Hz，带入式(8)和式(10)，得出其他控制参数。轨迹为五阶 S曲线轨迹，其中 x=100 mm，vmax=0.5 m/s，amax=10 m/s2，jmax=667 m/s3，dmax=2 ×105m/s4，fmax=2 ×108m/s5。

通过实验，对比PID和LADRC跟踪五阶S曲线的轨迹，发现PID和LADRC控制器跟踪S曲线都跟踪得很好，几乎完全重合，见图6。

图6 实验跟踪曲线Fig．6 Tracking curve of experiment

图7为PID控制下的跟踪误差曲线，最大误差为0.12 mm。电机在加减速阶段，误差较大的原因主要有以下两点:1)电机加减速时，控制指令加减速变化较大，引起绕组电流变化，导致磁阻推力相应变化，从而造成较大位置误差;2)直线电机加减速时，系统冲击较大，电机定子存在较大惯性时滞。

图7 PID控制下的轨迹误差曲线Fig．7 Trajectory error curve of PID controller

图8为LADRC控制下的轨迹误差曲线，最大误差为4 μm。在加减速阶段，误差明显变小;在匀速阶段，误差恒在一个范围之内，最大误差2 μm。误差减小的原因主要有以下两点:1)系统用状态观测器观测系统动态变化和补偿系统未知扰动;2)用前馈补偿极大的减小了加减速时的位置跟踪误差，改善了电机在加减速时的动子惯性时滞影响。

图8 LADRC控制下的轨迹误差曲线Fig．8 Trajectory error curve of LADRC controller

通过对比图7和图8，发现LADRC控制的系统误差明显要比PID控制的系统误差要小，系统达到的精度更高，验证了该方法的有效性。

5 结论

通过将线性自抗扰控制和前馈补偿控制方法结合运用到直线电机运动控制实验中，控制系统具有了抗干扰能力和更好的跟踪性能，验证了该方法的有效性。结论如下:

1)此直线电机控制模型可以推广到其他跟踪或者定位控制系统中。

2)通过对自抗扰控制器的线性化，线性自抗扰控制器依然具有观测和补偿干扰的作用。

3)采用前馈补偿控制，提高了系统的跟踪性能，使系统达到一个很高的精度。

实验结果表明，该方法满足光刻机工件台对伺服驱动系统的高速、高精度轨迹控制要求。

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