条件式abc＝a＋b＋c＋2的几个等价式与应用

浙江省湖州市双林中学 李建潮 钱旭锋 （邮编：313012）

本文谈谈条件式：

下的不等式证明题.

1 ①的等价式一与应用

①式等价于

上式两边都加2（bc＋ca＋ab），整理得

（a＋b＋c）（a＋b＋c＋2）≥4（bc＋ca＋ab），

即（a＋b＋c）abc≥4（bc＋ca＋ab）.

两边同除以abc，原不等式获证.

2 ①的等价式二与应用

①式又等价于

例2 已知正数a、b、c满足abc＝a＋b＋c＋2，求证：（a－1）（b－1）（c－1）≤1.

证明 已知条件等价于③式，且用反证法易知：bc、ca、ab＞1.进而a、b、c三数中至少有两数大于1，不妨设a＞1，b＞1.

若c≤1，则求证式显然成立；

若c＞1，则不等式（px－qy）2≥ （p2－q2）（x2－y2）（p、q、x、y∈R）应用于 ③ 式，有

联立例1，可获：

结论1 已知正数a、b、c满足abc＝a＋b＋c＋2，则

3 ①的等价式三与应用

①式等价变形为：

这就是①式的第三个等价式，它与如下赛题“连通”：

赛题 （第20届伊朗奥赛题）已知正数a、b、c满足a2＋b2＋c2＋abc＝4求证：

a＋b＋c≤3.

结论2 已知正数a、b、c满足

（或 ④ 或 ① 或 ③），则

（1998年日本IMO选拔赛题的加强）

下面举二例以示应用：

证明 已知条件等价于

例4 （2004年上海竞赛题）若α、β、γ∈ （0，），sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1，求证：

应用结论2，得

由此易证（cotαcotβcotγ）2≥8；进而由均值不等式，可证cotα＋cotβ＋cotγ≥ 3.

类似 若α、β、γ∈ （0，），cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求证：