带有领航者的多智能体系统的一致性控制

顾建忠，姚建玲，杨洪勇

（1.鲁东大学a.数学与统计科学学院；b.信息科学与工程学院，山东 烟台 264025；2.上海交通大学数学系，上海 200240）

带有领航者的多智能体系统的一致性控制

顾建忠1a，姚建玲2，杨洪勇1b

（1.鲁东大学a.数学与统计科学学院；b.信息科学与工程学院，山东 烟台 264025；2.上海交通大学数学系，上海 200240）

对基于动态拓扑有领航者的多移动智能体二阶系统的一致性进行研究。假设各智能体系统存在时变输入时延，分别针对有向网络拓扑为固定和动态两种情形，设计基于邻接信息的分散控制策略。基于李亚普诺夫稳定性理论及线性矩阵不等式方法，得到使各个智能体与领航者达到一致的充分条件。最后通过仿真验证设计方案的有效性。

多智能体系统；领航者；一致性；时变时延；动态拓扑

0 引言

多智能体系统的研究近几年来已成为人工智能研究的一个热点。随着人们对智能体技术研究的逐步加深以及计算机技术、网络技术和通信技术的飞速发展，该问题的研究领域已延伸至生物学、生态学、社会行为学、统计物理学、计算机图形学、系统及控制理论等领域。控制领域在该问题上的研究主要为多智能体系统的协调控制，主要的控制方法是利用局部信息设计每个智能体的运动规则以实现多智能体系统的整体控制。其中讨论最多的问题是一致性问题。所谓一致性问题是指多智能体系统中每个智能体的最终状态，包括位移、速度等能够趋于一致。一致性问题的研究发展很迅速，无论在理论上还是应用上都取得了丰硕的成果。Vicsek等利用局部信息提出一个自驱动模型描述平面粒子的运动，Jadbabaie等［1］对Vicsek模型进行线性化，分析拓扑结构变化情况下的一致性问题。基于代数图论，Olfati-Saber和 Murry［2-3］讨论一阶多智能体系统的一致性问题。Hong等［4-5］研究带有领航者的无向切换网络拓扑的一致性问题。Ke等［6］研究领航者具有未知时变速度的多智能体系统的一致性问题，同时估计领航者的速度。在多智能体系统中，时间延迟和网络拓扑结构变化是影响多智能体系统一致性的两个主要因素，文献［6］～［10］分别考虑无向和有向网络拓扑时的一致性问题。本文针对带有领航者的二阶多智能系统，时变输入时延和拓扑结构变化同时存在，设计基于邻接信息的控制输入，给出保证各个智能体跟踪领航者位置与速度的充分条件。

1 问题描述

设各智能体的动态方程为

其中，xi（t）∈R，vi（t）∈R，ui（t-τ（t））∈R分别表示智能体i∈I= ｛1，2，…n｝在时刻t的位置，速度，控制输入。τ（t）表示时变的输入时延，满足τ（t）≤d1，及˙τ（t）≤d2＜1。

领航者的动态方程为

本文的控制目标：分别针对固定和动态网络拓扑，设计基于邻接信息的分散控制输入ui（t）（1，2，…，n），使得各智能体的位置和速度分别跟踪领航者的位置和速度，即xi（t）→x0（t），（t→ ∞），也就是多智能体系统达到一致。

引理2［6］对 ∀a，b∈Rn，∀ 正定矩阵φ∈Rn×n，有2aTb≤aTφ-1a+bTφb成立。

引理3［7］若有向网络拓扑~G中，领航者为全局可达的，则矩阵L+B的特征值不为0，其中，L表示有向网络拓扑G的Laplacian矩阵，B表示领航者与各智能体之间的邻接矩阵。

2 主要结果

2.1 固定网络拓扑的一致性分析

对于固定网络拓扑结构下的多智能体系统（1）-（2），设计控制输入

研究误差动态系统（5）的稳定性，从而得到多智能体系统（1）-（2）的一致性结论。

则系统实现位置与速度的一致性。

证明：选取Lyapunov-Krasovskii泛函V=V1+V2+V3，其中

其中，P＞0，Q＞0，R＞0为2n×2n的待定矩阵，则

由引理2知

将式（5）代入式（12），得

由引理2知

将式（14）代入式（12），得

综合式（8），（11），（15），得

其中，由引理1可知，式（18）等价于存在时延上界d1及正定矩阵P，Q，R使得

其中，N=F+G，定理1得证。通过应用Matlab的LMI工具箱可求得满足要求的d1，P，Q，R，，保证当τ（t）＜d1时，多智能体系统实现所有状态的一致性。

假设多智能体系统是由一个领航者（标号为0）和4个智能体（标号为1～4）组成。

设各智能体间每条边的权重为0.6，智能体与领航者间每条边的权重为1，则系统有向图~G的Laplacian矩阵L及各智能体与领航者之间的邻接矩阵B分别为

图1 固定网络拓扑时的有向邻接图Fig.1 The directed adjacent graph with fixed topology

取d2=0.065通过MatLab的LMI工具箱可求得时延上界为d1=0.020 7及P，Q，R的可行解为

取τ（t）=0.02｜sin（t）｜，得到关于领航者及各智能体的状态变化曲线（见图2），从图2可以看出，各智能体与领航者的位置与速度均达到一致。

图2 固定网络拓扑时的各个多智能体与leader的状态误差图Fig.2 The error trajectories between the leader and each agent in fixed topology

2.2 动态网络拓扑的一致性分析

当考虑多智能体系统中的领航者及各智能体不断发生变化时，系统的网络拓扑是时变的。假设存在一个有界的不重叠的连续的无限时间间隔序列［ti，ti+1），i=0，1，…，开始于t0=0。定义¯G=｛G1，G2，…，GN｝包含所有可能拓扑的有向图集，N表示所有可能图的个数，其中也包含各智能体与领航者间所有可能的信息传递网络拓扑。定义分段常量切换信号σ：［0，+∞）→β=｛1，2，…，N｝，由于不同时刻各智能体间的连接状态不同，所以系统的信息传递拓扑是时变的，因此系统拓扑图G的Laplacian矩阵Lσ为时变的，假设网络拓扑在ti处切换，i=0，1，…，但在任何时间间隔［ti，ti+1）内为时不变的。

当考虑动态网络拓扑，系统的控制输入为

此时系统的误差动态方程为

定理2 考虑动态网络拓扑，若对于任意网络拓扑Gi∈¯G，其领航者为全局可达的，则系统可以实现一致性的充分条件为对任意给定的0＜d2＜1，存在适当d1＞0及正定矩阵P，Q，R使得

该定理的证明方法与固定拓扑时相同，其中Nσ=F+Gσ，且由于此时Lσ为时变的，上述线性矩阵不等式对于所有可能的拓扑情况均成立。

下面给出系统动态网络拓扑时的仿真结果。图3给出多智能体系统的信息传递图，其中包括4个智能体（标号i=1，2，3，4）和一个领航者（标号0）。考虑系统每隔0.1s在图3所示的信息传递图之间发生切换的情况，假设切换由Ga开始，切换顺序见图4。

图3 动态网络拓扑时的3个有向邻接图Fig.3 Three directed adjacent graphs with switching topology

图4 系统网络拓扑的切换顺序图Fig.4 Finite machince with three states denoting the states of a network with switching topology

设智能体间每条边的权重为0.6，智能体与领航者间每条边的权重为1，则此时系统的Laplacian矩阵La，Lb，Lc及领航者与智能体间的信息传递矩阵Ba，Bb，Bc分别为

取d2=0.05通过MatLab的LMI工具箱可求得时延上界为d1=0.003 8及P，Q，R的可行解为

图5为取τ（t）=0.003｜sin（t）｜时的系统状态变化曲线，从图5可以看出，各智能体与领航者的状态均达到一致。

图5 动态网络拓扑时各个多智能体与Leader的状态误差图Fig.5 The error trajectories between the leader and each agent with switching topology

3 结论

本文针对控制输入中存在时变时滞的多智能二阶系统，研究其在固定和动态两种网络拓扑下跟踪领航者的位置与速度。利用线性矩阵不等式方法，可以证明对于适当的时滞上界，基于邻接信息的控制策略可以保证各个智能体与领航者实现位置和速度的一致性。此外，文中分别对固定和动态网络拓扑进行仿真，以验证设计方案的可行性。

［1］Jadbabaie A，Lin J，Morse A S.Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules［J］.IEEE Trans Automa Control，2003，48（6）：988-1001.

［2］Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus protocols for networks of dynamic agents［C］//American Control Conference.Denver，CO，USA，2003：951-956.

［3］Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays［J］.IEEE Trans Automat Control，2004，49（9）：1520-1533.

［4］Hu J，Hong Y.Leader-following coordination of multi-agent systems with couping time delays［J］.Physica A，2007，374（2）：853-863.

［5］Hong Y，Hu J，Gao L.Tracking control for multi-agent consensus with an active leader and variable topology［J］.Automatica，2006，42（7）：1177-1182.

［6］Peng K，Yang Y P.Leader-following consensus problem with a varying-velocity leader and time-varying delays［J］.Physica A，2009，388（213）：193-208.

［7］Tian Y P，Liu C L.Robust consensus of multi-agent systems with diverse input delays and asymmetric interconnection perturbations［J］.Automatica，2009，45（5）：1347-1353.

［8］Ni W，Cheng D Z.Leader-following consensus of multi-agent systems under fixed and switching topologies［J］.System&Control Letters，2010，59（3/4）：209-217.

［9］Lin P，Jia Y M.Average consensus in networks of multi-agents with both switching topologies and coupling time-delay［J］.Physica A，2008，387（1）：303-313.

［10］Sun Y G，Wang L，Xie G.Average consensus in networks of dynamic agents with switching topologies and multiple timevarying delays［J］.System &Control Letters，2008，57（2）：175-183.

Consensus Control of Multi-Agent Systems with a Leader

GU Jian-zhong1a，YAO Jian-ling2，YANG Hong-yong1b
（1a.School of Mathematics and Statistics Science；b.School of Information Science and Engineering，Ludong University，Yantai 264025，China；2.Department of Mathematics，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240）

This paper is concerned with the leader-following consensus problem of second-order multi-agent systems.Under the assumption that the topology graph is static and dynamic，a decentralized control law based on the neighbor information is proposed for every agent with time-varying input delays.The consensus analysis is performed based on a proposed Lyapunov-Krasovskii functional，and sufficient conditions are obtained in terms of Linear Matrix Inequalities（LMI）.Finally，two simulations are presented to illustrate the theoretical results derived in the paper.

multi-agent systems；leader；consensus analysis；time-varying delay；dynamic topology

TP13

A

1672-3813（2013）03-0067-08

2012-12-04

国家自然科学基金（61273152，61170161，61174085）；山东省自然科学基金（ZR2011FM017）

顾建忠（1977-），女，山东蓬莱人，硕士，讲师，主要研究方向为非线性系统控制与分析、多智能体系统的一致性分析。

（责任编辑 耿金花）