分数阶多智能体系统的时延一致性

杨洪勇，徐邦海，刘 飞，寇光杰

（鲁东大学信息与电气工程学院，山东 烟台 264025）

分数阶多智能体系统的时延一致性

杨洪勇，徐邦海，刘 飞，寇光杰

（鲁东大学信息与电气工程学院，山东 烟台 264025）

假设多自主体系统内部连接组成有向加权网络，个体的动力学特性应用分数阶微分方程描述，个体之间数据传输存在通信时延。应用分数阶系统的Laplace变换和频域理论，研究了时延多自主体系统的运动一致性。由于整数阶系统是分数阶系统的特殊情况，结论可以推出与整数阶系统相同的一致性判断条件。最后应用一个实例对结论进行了验证。

分数阶；多自主体系统；时延；一致性

0 引言

作为多自主体系统的协调控制中最基本的问题之一，一致性问题受到了广大科学工作者的广泛关注［1-11］。多自主体系统的一致性是指空间分布的几个自主体，在没有中央集中控制或者全局通信的情况下，个体之间通过局部的相互耦合作用，达到一个相同的状态或者输出。在复杂环境中，个体之间通过相互感应来获得周围环境和邻居的状态信息，然后根据需求来调整自身的运动状态，最后涌现出一种群集行为。在多自主体系统的一致性问题研究中，一般假设系统具有连续时间模型或离散时间模型，许多国内外学者致力于多自主体系统的一阶或者二阶动力学模型的研究［1-11］。

许多复杂环境中的物理系统展现出分数阶（非整数阶）动力学行为，使用分数阶动力学描述带有分数阶特性的研究对象，可以更好地揭示对象的本质特性及其行为［12］。根据自主体工作环境的复杂性，许多自然现象的动力学特性不能应用整数阶方程描述，只能用分数阶（非整数阶）动力学的智能个体合作行为来解释，例如：借助于个体的分泌物而进行的微生物的群集运动和食物搜索、在有大量微生物和粘性物质的海底工作的水下机器人、在复杂太空环境运行的无人驾驶飞行器等［13］。Cao和Ren研究了基于分数阶的多自主体系统的分布协作问题［14-15］，给出了稳定的多自主体系统中个体数量与分数阶之间的关系。Yang等研究了基于采样数据的分数阶多自主体系统的运动一致性［16］。但是对具有分数阶特性的多自主个体系统协调控制的研究，现有研究成果鲜有报道。

本文拟对分数阶分布式多自主个体系统的时延一致性进行研究。在多自主体系统内部连接组成有向加权网络，个体之间的信息传输存在通信时延的情况下，研究自主群体的运动一致性。

1 问题描述

假设多自主体系统由n个自主个体组成，个体之间构成网络拓扑G。假设G=｛V，E，A｝表示一个有向加权图，其中V=｛v1，…，vn｝表示具有n个节点的集合，它的边集合E⊆V×V。节点的下标集合I=｛1，2，…，n｝，邻接矩阵A=［aij］，其中矩阵元素aij≥0表示节点i到节点j的连接权重，如果节点i可以得到节点j的信息，则aij＞0，否则，aij=0。假设网络图中每个节点没有自连，也就是，对于所有i∈I，aii=0。

在文献［14］中，Cao等研究了式（1）的分数阶一致性算法：

其中，xi（t）和ui（t）分别表示第i个自主个体的状态和控制输入，xi（t）∈Rm，ui（t）∈Rm。为了讨论方便，假设m=1。x（α）i（t）是xi（t）的第α阶导数，α∈R+。假设多自主体系统的协作算法为

其中，aik是邻接矩阵A的第（i，k）元素，Ni表示第i个Agent的邻居集合。

本文假设系统存在通信时延，研究具有通信时延的多自主体系统的一致性。系统（1）在有通信时延的影响下，可以得到式（3）的算法：

其中，τ＞0为系统的通信时延。则具有通信时延的多自主个体系统的合作协议可以改写为

2 主要结论

根据文献［14］的结论可知，分数阶多自主体系统的分数阶α∈（0，2）时系统状态稳定，α＞2时系统运动就不收敛，因此本文假设分数阶α∈（0，2）。

定理1 假设有n个自主个体组成的多自主体系统，其连接拓扑为有向网络，而且存在一个全局可达节点。则具有时延的多自主体系统（4）可渐近达到一致，如果

证明：对分数阶时延多自主体系统（4）应用LapLace变换，得到特征方程

其中，I表示单位矩阵，L为系统的Laplacian矩阵。由于系统有一个全局可达节点，所以0是矩阵L的一个单一特征值。当α＞0时，系统的特征方程有一个特征根s=0。

本文应用Gerschgorin圆盘定理估计矩阵G（jω）的特征值λ（G（jω）），根据Gerschgorin圆盘定理有式（7）成立

因此当a≥1时，-a+j0点不在圆盘Gi中，也就是矩阵G（jω）的特征值λG（jω）的Nyquist曲线不包-1+j0点。因此F（s）的所有零点都具有负实部。

注1：根据本文的结论（5），通信时延是非负的，因此系统的分数阶α∈（0，2）。这与文献［14］得到多自主体系统的分数阶α∈（0，2）时系统状态稳定的结论一致。

推论1 假设有n个自主个体组成的多自主体系统，其有向连接拓扑为对称的，而且存在一个全局可达节点。则具有时延的多自主体系统（4）可渐近达到一致，如果

推论2 假设有n个自主个体组成的多自主体系统，其有向连接拓扑为对称的，而且存在一个全局可达节点。则当α=1时，时延多自主体系统（4）可渐近达到一致，如果

其中，λmax为矩阵L的最大特征值。

注2：推论2的结论与文献［2］得到的时延多自主个体系统一致性收敛结论一样。

图1 拓扑结构图Fig.1 Topologies Graph

3 实例分析

假设多自主体系统有4个具有分数阶动力学系统描述的个体组成（见图1），个体之间连接权重为a21=0.7，a42=0.8，a31=0.9，a14=1。系统的分数阶为α=0.8，有系统连接拓扑可得

根据定理1得到系统的通信时延上界为0.792 5。假设各自主个体系统的应用分数阶协作算法，通信时延为0.7。应用分数阶系统仿真可得系统运动状态能够渐近达到一致（见图2）。图3中给出了各自主体系统的状态偏差，其中E21=x2（t）-x1（t），E31=x3（t）-x1（t），E41=x4（t）-x1（t）。

图2 通信时延为0.7s的分数阶系统运动状态图Fig.2 Movement states of the fractional systems with delay of 0.7s

图3 分数阶系统运动状态偏差图Fig.3 Errors of movement states of the fractional systems

4 结论

本文研究了分数阶多自主体系统的一致性。假设多自主体系统内部连接组成有向加权网络，个体的动力学特性应用分数阶微分方程描述，个体之间数据传输存在通信时延。应用Laplace变换和频域Nyquist判据，得到了多自主体系统一致性的时延上界。假设分数阶系统的阶数为1时，本文得到的结论与整数阶系统的结论是一致的。本文的后续工作，将研究具有整数阶和分数阶的异类多自主体系统的时延一致性。

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Consensus of Fractional-Order Multi-Agent Systems with Communication Delay

YANG Hong-yong，XU Bang-hai，LIU Fei，KOU Guang-jie
（School of Information and Electrical Engineering，Ludong University，Yantai 264025，China）

Since the complex of the practical environment，many distributed multi-agent systems can not be illustrated with the integer-order dynamics and can only be described with the fractional-order dynamics.Suppose the multi-agent systems are composed of directed weighted topologies，where the dynamical characteristic of agents are illustrated fractional-order derivative operator and communication delays influence in the data transferring in multi-agent systems.Applying the Laplace transform and frequency domain theory of the fractional-order operator，the consensus of delayed multi-agent systems is studied.Since integer-order model is the special case of fractional-order model，the results in this paper consist with that of integer-order model.Finally，an example is used to verify our results.

fractional-order；multi-agent systems；communication delays；consensus

TP39

A

1672-3813（2013）03-0081-05

2012-12-04

国家自然科学基金（61273152，61170161，61174085）；山东省自然科学基金（ZR2011FM017）

杨洪勇（1967-），男，山东庆云人，博士，教授，主要研究方向为网络拥塞控制、复杂网络与复杂系统、多智能体协调控制等。

（责任编辑 耿金花）