（2+1）维非线性发展方程的对称约化及精确解

李宁, 刘希强, 张颖元

（2+1）维非线性发展方程的对称约化及精确解

*李宁, 刘希强, 张颖元

（聊城大学数学科学学院，山东，聊城 252059）

利用相容性方法，得到了(2+1)维mKdV-KP的非经典对称及相似约化，并进一步得到了该方程的一些新的精确解，包括双曲函数解，三角函数解，有理函数解，椭圆函数解等。

相容性方法；(2+1)维mKdV-KP方程；精确解；对称；相似约化

即

方程(2)的显式解。(2+1)维mKdV-KP方程是基于(2+1)维KdV和(2+1)维KP方程提出的推广。 A. S. Al-Fhaid利用F展开法[10]得到了该方程的雅可比双周期波解，N Taghizadeh等用首次积分法[11]得到了该方程的行波解。文献[4]中作者利用修正的CK直接方法得到了非线性发展方程的对称，从而约化方程，但此方法需要复杂的计算和转化过程。文献[6]中作者利用经典李群方法得到了非线性发展方程的李点对称，也达到约化方程的目的，但此方法在求解生成元时需大量的计算。虽然相容性方法的最终目的同样是寻找非线性发展方程的对称，但该方法能够简化计算过程，并能得到更多新的结果。本文的求解过程恰能说明相容性方法的优越性。

相容性方法的主要思想是假定方程(2)有如下形式

1 (2+1)维mKdV-KP方程的非经典对称

把(3)式带入(2)式，得到

解上述超定方程组可得

2 (2+1)维mKdV-KP方程的对称约化以及显式解

分以下3种情况讨论：

以下用扩展的tanh方法求解方程(12)。假设方程(12)有以下形式的解

则方程(12)的解为

即原方程(2)的解为

为了得到方程(2)更广泛的解，将(12)式积分两次可以得到

由(19)式容易得到

注1：情况1 中还有大量解，这里不再一一列出，而且都是新解。

以下借助辅助函数[13]来求解方程(23)的解。设方程(23)有以下形式的解

利用辅助方程

方程(22)也可以约化为

注2：经过Maple数学软件验证情况3中的6组解都是方程(2)的解，而且均是新解。

3 结论

利用相容性方法得到了mKdV-KP方程的非经典对称，并利用其得到了该方程的相似约化，通过解约化方程得到了mKdV-KP方程的一些精确解。

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SYMMETRY REDUCTIONS AND EXACT SOLUTIONS OF (2+1)-DIMENSIONAL NONLINEAR EVOLUTION EQUATION

*LI Ning，LIU Xi-qiang，ZHANG Ying-yuan

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based on the compatibility method, we find the non-classical symmetry, reductions and new exact solutions of mKdV-KP equation including the hyperbolic functions, the trigonometric functions, the rational functions and the elliptic functions and so on.

the compatibility method; (2+1)-dimensional mKdV-KP equation; exact solutions; symmetry; similar reduction

O175. 2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.03.002

1674-8085(2013)03-0005-05

2012-11-21；

2013-03-14

国家自然科学基金和中国工程物理研究院联合基金项目(11076015)

*李 宁(1981-），男，山东枣庄人，硕士生，主要从事非线性偏微分方程解的研究(E-mail:ln1011@163.com);

刘希强(1957-)，男，山东菏泽人，教授，博士，主要从事非线性微分方程系统研究(E-mail: liuxiq@sina.com);

张颖元(1987-)，女，山东济南人，硕士生，主要从事非线性偏微分方程解的研究(E-mail:zhangyingyuanok@126.com).