求解一阶常微分方程的五阶Adams格式

李 猛，陈慧文，张宗标

（亳州师范高等专科学校 理化系，安徽 亳州 236800）

在常微分方程的解的讨论中，都是对一些典型方程求解析解的方法［1-6］，然而在生产实际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使有了一些已经有了基本方法的典型方程，由于数据量非常大，问题便不那么容易解决［7-9］.在实际问题中，对于求解微分方程，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式.

本文主要讨论下述一阶常微分方程初值问题的数值解：

1 五阶Adams显式公式

作f(x,y(x))以xi,xi-1,…,xi-r为插值节点的r次Lagrange插值多项式L(x)，满足:

设此插值的局部阶段误差为R(x)，即f(x,y(x))=L(x)+R(x)，可以得到以下误差估计式：

将(3)、(4)式代入(2)式可得：

代入(5)式，可以得到如下定理.

定理1 一阶常微分方程具有五阶Adams显示格式：

且有局部截断误差：

2 五阶Adams隐式公式

上述五阶Adams显示格式以xi,xi-1,xi-2,xi-3,xi-4为插值节点，这时，其实际上是个外推格式，效果不够理想，为了改善逼近效果，可以变外推为内插，改用xi+1,xi，…,xi-r+1为插值节点的r次Lagrange插值多项式Lˉ(x)逼近f(x,y(x))，满足：

重复上一节的推导过程，可得：

于是可以得到定理2.

定理2 一阶常微分方程具有五阶Adams隐式格式：

且有局部截断误差：

3 五阶Adams预测-校正系统

显示格式(6)和隐式格式(10)都具有五阶格式，这两种格式可匹配成下列Adams预测-校正系统.

4 结语

显示格式又称外插公式，隐式格式又称内插公式，两种格式各有各的优点，对于显示格式，从计算角度看，隐式格式比显示格式计算量要大，但是隐式格式相比显示格式有两个优点：第一，对于局部截断误差，隐式格式要比显示格式小得多，这从本文中（7）式和（11）式可以看出；第二，隐式格式的系数绝对值之和也要比显示格式小得多.但是由于计算中所产生的误差，一般不直接利用隐式公式，而是把显示和隐式结合起来使用，这正是本文的五阶Adams预测-校正系统，这种预测-校正系统是五步法，用它计算时，不仅要用到前一步的信息，更是用到更前四步的信息，实际计算中，须借助某种但部分为它提供开始值，五阶Tayloy格式等，该预测校正系统能得到和隐式格式相同的误差估计.

［1］袁慰平，孙志忠，吴宏伟.计算方法与实习［M］.南京：东南大学出版社，2005.

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［4］李庆扬，王能超， 易大义.数值分析［M］.4 版.北京：清华大学出版社，2008.

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［6］欧阳洁，聂玉峰，车刚明，等.数值分析［M］.高等教育出版社，2009.

［7］李岳生，黄友谦.数值逼近［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［8］Szidarovszky,Yakowitz S.数值分析的原理及过程［M］.施明光，译.上海：上海科学技术出版社，1982.