基于内张力补偿的并联柔索机构控制系统的研究

汪选要，曹 毅，黄 真

（1.安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南 232001；2.江南大学 机械工程学院，江苏 无锡 214063；3.燕山大学 机器人研究中心，河北 秦皇岛 066004）

1 引言

并联柔索机构作为一种新型的并联运动机构，具有结构简单、惯性小、平动空间大和运动速度快等优点。从20 世纪90 年代初至今，美国、日本、德国、意大利、加拿大、南朝鲜和法国等国的研究人员纷纷开展这方面的研究工作，并取得了一批瞩目的研究成果。特别是法国国家航空局支持的SACSO 项目关于并联柔索机构应用于飞行器风洞试验的研究，为风洞飞行器的模型支撑技术提供了一个崭新的方法[1]。虽然并联柔索机构目前还未大量投入实际应用，但从已经获得的研究成果可以预测到，这种机构在飞行器风洞试验中具有诱人的应用前景[2]。

六自由度并联柔索机构应用于飞行器模型风洞试验具有以下优点：（1）传统的风洞要靠特殊支架来改变模型的状态，对原系统稍加改造便可采用控柔气流场干扰较大，而采用柔索则可将此影响降低到最低程度；（2）在风洞条件许可的情况下，模型可尽量做大一些，因为与传统的支架相比，柔索对其姿态的控制要容易得多；（3）传统的风洞不容易对飞行器的姿态角处于耦合状态时（如既有roll，又有pitch 和yaw）的一些动力学参数进行了分析，而采用并联柔索机构就方便多了。

根据作业任务的不同，机器人的运动控制通常有两种方式：一种是调节器方式，用于实现点到点的位置控制；另一种是轨迹跟踪控制[3]。调节器是一种比较简单的控制器，在硬件上也比较容易实现，因此借助其对冗余并联柔索机构控制系统的分析与设计来研究该模型的特性。对于柔性机器人，虽然采用常值重力补偿调节器，可以实现系统渐进稳定并能收敛到期望点，但是条件是很苛刻的，如果采用变值重力补偿，相当于引入了变值扰动，可能引起系统不稳定，尽管存在唯一的平衡点，但是却无法判断系统是否能渐进稳定地收敛到该点[4-5]。因此提出采用常值重力及内张力补偿设计冗余并联柔索机构控制系统的调节器。

2 飞行器风洞试验动力学模型

动系｛B｝p-xyz 位于飞行器上，柔索在动系连接点为bk=（xk，yk，zk）k=1，2，3，4。柔索在定系｛A｝O-XYZ 位于风洞壁上，柔索在定系连接点为aj=（Xj，Yj，Zj）j=1，2，Λ，6。｛B｝相对于｛A｝的位姿为X=［x，y，z；ψ，θ，φ］T，柔索长度：

式（1）即为CRPM 运动学反解的显示表达式[6]。

图1 CRPM 结构平台图Fig.1 The Configuration Platform of CRPM

图2 YOZ 平面的投影图Fig.2 The Projection of YOZ Plane

若以F∈R6×1表示动平台产生的作用力矢量，7 根柔索的力旋量之和应等于动平台上作用的六维力矢，因此可写出动平台的静力平衡方程：

式中：τi—第i 根柔索受到的拉力；Si—第i 柔索的单位线矢量，式（2）表示的螺旋方程很容易改写成矩阵形式的平衡方程：

要满足矢量封闭原理就意味着每根柔索的张力都为正值，且能产生任意的对外作用力。因此，在已知F的情况下，可以求得柔索的张力：

式中：（·）+—括号中矩阵的Moore-Penrose 广义逆。

式（4）右边第一项为产生的对外作用力，第二项为柔索之间相互作用的内张力，改变矢量的值可以改变内张力的大小，进而改变柔索的张力。

系统的动力学方程，并将其写成矩阵形式

式中：D（X）—动平台惯性矩阵；h—非线性哥氏力和离心力矢量；G—重力矢量；F—由外力产生的等效负载；τ—柔索的张力矢量。

驱动单元包括电机、减速机及柔索的绞盘，其动力学模型为线性解耦的方程：

式中：φ—电机的转角位置矢量，取柔索长度增加的方向为正；A—折合到电机转子轴上的转动惯量；B—折合到电机转子轴上的阻尼系数；rw—绞盘半径；ζ—减速机的速比；u—电机的输入转矩矢量。

3 控制系统分析与设计

如果认为柔索是线弹性的，且不计其质量，可以将柔索简化为刚度为常值的弹簧。在此基础上，柔索的张力矢量可表示为：

图3 模型PD 反馈调节器Fig.3 The PD Feedback Controller

图中：qd—期望柔索长度；φd—相应的电机转角期望位置，取电机转角位置与速度为控制规律。

4 仿真分析

已知参数如下：如图2 所示，动、定平台的构型为等边三角形，动平台的质量为100kg，绕x 轴和y 轴的转动惯量为1482.6Nm2绕z 轴的转动惯量为2967Nm2，取风洞半径R=0.5m，夹角γ=30°。驱动单元（包括电机、减速器和绞盘）的转动惯量（折合到电机轴）为380Nm2，阻尼系数（折合到电机轴）为0.05，柔索的刚度是柔索长度的函数，由钢丝绳的破断拉力，根据经验公式计算[8]。采用电机转角位置反馈PD 控制，反馈增益取为KP=diag｛0.2｝，KD=diag｛0.07｝时，误差曲线，如图4 所示。分析变值重力和内张力补偿可以得出，PD 反馈可以实现系统的稳定，但系统的稳定性取决于系统的反馈增益的取值，同时也说明了冗余并联柔索机构系统的耦合性和非线性。

图4 电机转角反馈补偿PD 调节器的误差曲线Fig.4 The Error Curve of PD Regulator Based on Motor Angle Feedback Compensation

［1］Lafourcade P，Llibre M，Reboulet C.Design of a parallel wire－driven manipulator for wind tunnels［C］//Proceedings of the Workshop on Fundamental Issues and Future Direction for Parallel Mechanisms and Manipulators.Quebec City，Ouebec：Robotics and Automation，2002：187－194.

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［7］黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论与控制［M］.北京：机械工业出版社，1997.）（Huang Zhen，Kong Ling－fu，Fang Yue－fa.Parallel Manipulaor and Control Theory［M］.Beijing，CN：Mechanical Industry Press，1997.）

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