制造商供应量变化时同质多物品拍卖价格策略研究

谭 建 王先甲

(1．贵州财经大学管理科学与工程管理学院 贵州贵阳 550004;2．武汉大学经济与管理学院 湖北武汉 430072)

拍卖作为一种市场交易机制在实践中被广泛运用。对于同质多物品拍卖，可采用歧视价格、统一价格、序贯等拍卖方式［1］。在现有多物品拍卖文献中研究固定供应量多物品的拍卖较多［2-5］，但随着电子商务的发展，在线交易方式使得变动供给拍卖近年来得到更多关注。Hansen(1988)首次提出了价格确定情况下的多物品变动供给拍卖问题［6］。范小勇(2005)建立了一个包含商品间替代性因素的变动供给多物品拍卖模型，指出以整体利润最大化的目标来确定各种商品的拍卖数量，能有效地避免外部性损失［7］。Mcadams(2007)通过分析统一价格拍卖方式，得出变动供给拍卖所产生的拍卖者期望收益与社会福利均较固定供给拍卖更高［8］。Damian(2010)分析了投标者在单位需求时的多物品拍卖，通过比较统一价格拍卖与歧视价格拍卖，得出统一价格拍卖对卖方而言能获得更高的卖价与交易量，从而得到更多的收益［9-10］。从这些文献可看出，虽然都是分析供给变动多物品的拍卖模型，但均是买者在单位需求的情形下进行的分析。

本文在以上文献的基础上，考虑两种价格下的统一价格拍卖与歧视价格拍卖，在制造商供应量变化时，多个零售商在多单位需求的情形下，分析零售商的报价策略、制造商的价格策略及其相关性质，并对两种拍卖方式进行比较。

一、模型假设

有单个制造商和n个零售商以拍卖的形式进行同质多物品交易。假设制造商的产品批发价只有两种可能的价格pl和ph，其中ph＞pl＞0。拍卖是一个两阶段模型，在第一阶段零售商提交他们的叫价及对应的需求量，第二阶段制造商选择价格与成交量。

假设1:每个零售商有拟线性效用函数，ui(q，z)=vi(q)+ζ。其中q表示零售商i对物品的需求量，ζ表示其它商品对i的效用。vi为i的效用函数，是连续可微、单调递增和严格凹函数，且v'(0)＞pl。

由于零售商为价格的接受者，因此由效用函数得到需求函数为:q=di(p)=max{v'-1i，0}，其中需求函数为共同知识。由于vi是严格凹函数和连续的，因此di是正的关于价格递减且连续的函数。v'(0)＞pl则表示di(pl)＞0，即任意一个零售商在价格为pl时均有非零需求。同时也暗示对于di(pl)=0的估价者将自动排除在拍卖之外。

假设2:每个零售商的需求是有界的，即对任意的 i，有 d(i)＜∞。

在第一阶段，零售商提交两个非负需求量xi和yi(i=1，2，…，n)，分别表示低价与高价时的需求量，因此有xi≥yi。制造商的单位产品成本β为制造商私有信息，而对于零售商而言β是服从G分布的随机变量且为共同知识。

假设3:G(0)=0，对于所有的β＞0，有G(β)＞0，G(pl)＜G(ph)。G 在区间(0，ph］是连续可微且严格递增的。

G是共同知识，但是β为制造商的私人信息。在第二阶段，制造商选择高价或者低价，或者取消拍卖，即制造商的策略 u∈{ph，pl，cancel}。若制造商选择pl，则零售商i获得xi个单位物品;若制造商选择ph，则零售商i获得yi个单位物品;若制造商选择cancel，则没有任何零售商获得物品。零售商的支付则取决于拍卖的形式。制造商的目的是利润最大化，其决策取决于其类型(成本β)及总的叫价向量(∑x，∑y)。

二、统一价格拍卖

在统一价格拍卖中，所有的零售商对每一单位物品支付相同价格。若制造商选择低价，则零售商i的支付为plxi，制造的利润为(pl-β)与低价时的需求总量之积。若制造商选择高价，则零售商i的支付为phyi，制造的利润为(ph-β)与高价时的需求总量之积。

命题1:在统一价格拍卖中，制造商的最优策略为:

证明:由假设可以知道，只有当制造商的成本β＜ph时才有可能获得非负利润，因此当ph≤β时制造商的最优策略为取消拍卖。另外，由于xi≥yi，因此分两种情况来讨论:

第一种情况，当∑x＞∑y时:

若选择 pl或 ph对制造商来说无差异，则此时有:

(pl-β)∑x=(ph- β)∑y，由此可得到 β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x- ∑y)。即当 β ≤β*时，(plβ)∑x≥(ph-β)∑y，此时制造商的最优选择为 pl，反之为ph。

第二种情况，当∑x=∑y时:

此时对于为了利润最大化的制造商而言，对于在低价与高价需求量相同时最优选择为ph。

命题1刻画了制造商的行为。当且仅当其单位产品成本高于ph时才会取消拍卖;当且仅当其成本小于由(1)式所决定的阈值β*时选择低价。从式(1)可以看出，β*取决于零售商在不同价格时的需求量，这表明零售商不是价格的接受者，他可以通过改变自己的需求量来影响制造商的价格选择。

对于零售商i，主要选择(xi，yi)来最大化其期望效用。由于i知道制造商的产品成本分布G，且知道制造商通过式(1)来确定β*，因此制造商选择低价的概率为G(β*)，选择高价的概率为G(ph)-G(β*)，选择取消拍卖的概率为1-G(ph)。因此零售商i的期望效用由下式决定:

其中 Li(xi)=vi(xi)-plxi，Hi(yi)=vi(yi)-phyi，Li(xi)为制造商选择低价时分配零售商i的产品数量为xi时零售商i所得到的价值，Hi(yi)为制造商选择高价时分配零售商i的产品数量为yi时零售商i所得到的价值。

命题2:在假设1和假设3条件下，以下命题成立:

(1)∂xiβ*≥0，当且仅当∑y=0 时等式成立;∂yiβ*＜0。

(2)Li(xi)＞Hi(yi)。

(3)0 ＜ β*≤pl，当且仅当∑y=0 时等式成立。

(4)xi＞ yi≥0。

证明:根据假设有 xi≥yi≥0，若 xi=yi，根据命题1知β*=0，则此时制造商选择高价，作为零售商的最优策略，因此会选择xi＞yi。因此(4)成立。

对式(1)关于xi和yi分别求偏导，有:

∂xiβ*，而当且仅当∑y=0时等式成立。

∂yiβ*因此(1)成立。

对于拟凹函数Li(xi)和Hi(yi)，有Li(0)=0，Hi(0)=0。且对于∀a＞0，由于 pla＜pha，故有Li(a)＞Hi(a)。又由于Li(xi)为拟凹函数，因此当a＜di(pl)时 L'i(a)＞0;当 a=di(pl)时 Li(a)达到最大值;当a＞di(pl)时L'i(a)＜0。同理Hi(yi)可得∀z＞0，当 z＜di(ph)时 H'i(z)＞0;当 z=di(ph)时Hi(z)达到最大值;当z＞di(ph)时H'i(z)＜0。

由(4)知拍卖存在均衡解，因此Li(xi)关于xi的一阶条件应该存在。假设xi＜di(pl)，则L'i(xi)＞0，由(4)得 Li(xi)＞Li(yi)。又 Li(yi)＞Hi(yi)，因此 Li(xi)＞Hi(yi)。则∂xiΠi(xi，yi)=G'(β*)∂xiβ*(Li(xi)-Hi(yi))+G(β*)L'i(xi)＞0，这与均衡解存在相矛盾，因此有 xi＞di(pl)。此时就有L'i(xi)＜0，根据一阶条件可得到Li(xi)＞Hi(yi)。因此(2)成立。

假设 β*≤0，由式(1)得到 pl∑x ≤ph∑y，由命题1知道制造商绝对不会选择低价，则零售商的问题为:

从式(3)可以看出，xi对零售商的期望效用无影响，因此零售商可以提交任意数量的xi。而β*≤0则意味着 xi≤ph∑y-pl∑j≠ixj。由于零售商可以提交任意数量的xi，因此零售商可以改变xi使得xi＞ph∑y-pl∑j≠ixj从而 β*＞0，而此时零售商的问题为:

由于Li(xi)＞Hi(yi)，因此式(4)的值明显大于式(3)，这意味着零售商绝对不会选择(xi，yi)使得β*≤0。因此 β*＞0。

由于β*＞0，由命题1可得到∑x-∑y＞0。

β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x- ∑y)=pl-(phpl)∑y/(∑x-∑y)≤pl，当且仅当∑y=0时等式成立。因此(3)成立。

命题2中，(1)说明了零售商提交的需求数量对制造商选择的影响，通过增加低价的需求量和减少高价的需求量可以提高制造商选择低价的概率;(2)说明制造商选择低价时分配零售商i的产品数量为xi时零售商i所得到的价值大于制造商选择高价时分配零售商i的产品数量为yi时零售商i所得到的价值;由于β*≤0说明制造商以概率1选择高价，因此(3)的第一个不等式表示制造商选择低价存在可能性，而第二个不等式表明临界点β*不大于低价，若β*大于pl，则制造商不可能选择低价，因为选择低价会得到负的利润，因此制造商会取消拍卖或者选择高价;(4)说明零售商在低价时所提交的需求量严格高于高价时所提交的。

命题3:在统一价格拍卖中，xi≥di(pl)，当且仅当∑y=0时等式成立;yi≤di(ph)，当且仅当di(ph)=0时等式成立。

证明:对于式(2)关于xi的一阶条件为:G(β*)(d-1i(xi)-pl)+G'(β*)∂xiβ*(Li(xi)-Hi(yi))=0

由于d-1i是减函数，因此有:xi=di(pl-

当∑y=0时，有xi=di(pl)。

同理，关于yi的一阶条件可以得到:yi=di(ph

因此有yi≤d(ph)。若 yi=0则 yi≤d(ph)成立;当d(ph)=0时，则yi=0。因此当且仅当d(ph)=0时有yi=d(ph)。

命题3说明在统一价格拍卖中，零售商在低价时所提交数量高于其真实需求，在高价时所提交数量低于其真实需求。

由以上分析可以知道，统一价格拍卖中的均衡总是无效率的。这有两个原因，首先，对于制造商而言，不同于完全竞争市场，其产品价格总高于其边际成本。由命题2知道0＜β*≤pl，由命题1知当制造商成本β≤β*时，其选择价格pl大于边际成本;当制造商成本ph≥β≥β*时，则选择价格ph仍大于边际成本β。其次，对于零售商而言总是掩盖其在不同价格时的真实需求量，从而导致物品的分配无效率。这可以由命题3看出。

三、歧视价格拍卖

在歧视价格拍卖中，制造商针对不同的零售商所提交的产品需求量，采用不同的零售价格，与统一价格拍卖相比，除了支付规则不同外其它均相同。在本文中，歧视价格拍卖的支付规则为，零售商提交两种价格下的需求量(xi，yi)，xi＞yi。若制造商选择高价ph，则零售商得到yi个单位物品，每单位支付ph，其总支付为yiph。若制造商选择低价pl，则零售商先为yi个单位物品每单位支付ph，余下的xi-yi每单位支付pl，其总支付为phyi+(xi-yi)pl。若制造商取消拍卖，则零售商的支付为0。

命题4:在歧视价格拍卖中，制造商的最优策略为:

证明:令 a=(ph- β)∑y，b=(pl- β)(∑x-∑y)。若制造商选择高价，则其利润为a;若选择低价，则其利润为a+b。若β＞ph，制造商选择高价或者低价其利润均为负，因此此时最优策略为取消拍卖。若 pl≤β ≤ph，则 a ＞0，b ＜0，此时最优策略为选择高价。若 β ≤pl，则 a ＞0，b＞0，此时最优策略为选择低价。

命题4说明，与统一价格拍卖不同，歧视价格拍卖时制造商的最优决策只依赖于自己的成本，与零售商所提交的需求量无关。

命题 5:歧视价格拍卖中，xi=di(pl)，yi≤di(ph)，当且仅当di(ph)=0时等式成立。

证明:根据命题4可以知道，制造商选择低价的概率为G(pl)，选择高价的概率为G(ph)-G(pl)。则零售商i的期望效用为:

式(5)关于xi的一阶条件得到:G(pl)(d-1i(xi)-pl)=0，因此有 xi=di(pl)。

式(5)关于yi的二阶条件得到:

G(pl)(pl-ph)+(G(ph)-G(pl))(d-1i(q)-ph)=0。

命题5说明在歧视价格拍卖中，零售商在低价会选择提交自己真实的需求量，在高价会选择提交低于自己真实的需求量，同时也说明歧视价格拍卖也导致了资源配置无效率。

四、比较分析

命题6:制造商在统一价格拍卖时选择高价的概率大于歧视价格拍卖时选择高价的概率，歧视价格拍卖时选择低价的概率大于统一价格拍卖选择低价的概率。

证明:由命题1和命题4知，当β*=(pl∑x-ph∑y)/(∑x-∑y)时，有pl＞β*，则统一价格拍卖选择高价的概率为G(ph)-G(β*)大于歧视价格拍卖选择高价的概率G(ph)-G(pl)，统一价格拍卖选择低价的概率为G(β*)小于歧视价格拍卖选择低价的概率G(pl)，如图1所示。

图1 统一价格与歧视价格拍卖价格选择概率

由命题4和命题5可以看出，歧视价格拍卖中，制造商的均衡策略只与产品的生产成本β相关。零售商的均衡策略在低价的策略与高价的策略只与pl，ph及其概率分布相关。因此，在歧视价格拍卖中，均衡策略与参与竞争的人数无关。而在统一价格拍卖中，假设零售商i类型有k个，则共有kn个零售商参与拍卖。此时，因此，当 k→∞时，∂xiβ*→0，∂yiβ*→0，此时-Hi(yi)))→di(ph)。由此可以看出，在统一价格拍卖中，参与竞争的零售商越多，则提交的需求量扭曲得越少，即越接近真实的需求量。因此，从机制设计的角度来看，若参与拍卖的零售商越多，相对歧视价格拍卖，则制造商更倾向于用统一价格拍卖的方式进行产品批发。

五、结束语

本文从拍卖理论的角度来研究多物品的最优配置问题，分别从统一价格拍卖与歧视价格拍卖两个方面来分析在制造商供应量变化时制造商的价格选择与零售商的最优报价问题，分析了两种拍卖模式下的相关性质，并就两种拍卖形式进行了比较分析。本文只讨论了制造商在两个价格下的拍卖，如果是多个价格，结果又如何?这是以后需要进一步研究的内容。

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