数学概念的教学也应从问题开始

尤善培

思维起始于问题，数学教学是数学思维活动的教学，而思维活动又集中表现为提出问题和解决问题的活动。美国数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”因此，没有问题就没有思维，没有好的问题，就没有优质的思维。因而数学教学就要从问题开始，以问题的提出为载体，以问题的解决为中心，以问题的评价为引领，引发和调控学生的思维活动，激发深度思维，来揭示知识的发生过程和方法的形成过程。在这样的思维活动中，体验数学，增长知识，走进数学之幽境。

1.数学概念教学也应从问题开始。

数学教学应该从问题开始，问题是思维的启发器。如果没有问题，就至少没有专注的深入的思维。数学概念本身就是数学思维活动的产物，是思维活动的结果，因此，数学概念的教学也应从问题开始。

著名数学特级教师张乃达先生提出了改进数学概念教学的模式。这个模式也被称为概念的问题教学模式，用框图示意如下：

其要点是：在采用概念的同化或概念的形成的学习模式之前，增加以下环节。

（1）通过解决初始问题的思维活动或审美活动，让学生产生建立新概念的意识（念头）。

（2）在给概念下定义之前，首先让学生建立起与新概念相关的框架或观念（即从整体上把握概念）。

（3）初始问题是能导致数学新概念产生的问题，可分为应用性和结构性两类。其中应用性初始问题具有较好的情境性，而结构性初始问题则具有更好的结构性，更有利于意义建构的展开，前者引发的是解决问题的求真活动，后者引发的是数学的审美活动。

2.问题模式下的对数概念教学。

（1）教材简析

①对数是一种数，是怎样产生的？是什么因素促使我们建立对数概念的？对数又是一种运算，能解决什么问题？其解决问题的魅力又体现在哪里？logaN的来龙去脉体现了什么样的数学思想？

②苏格兰数学家纳皮尔首先发明了“对数”。恩格斯给予了很高的评价，他把“笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹创立的微积分”共同称为“十七世纪数学的三大发明”。

③对数函数是重要的初等函数。对数函数、指数函数（底数大于1）、幂函数（指数为正整数）都是增函数，其中对数函数增长得最慢。

④对数的基本知识。

对数是一个数，ab=N？圳b=logaN，这是问题产生的原点，是同一个问题的两种不同表达方式。注意特殊的对数lgN和lnN（其中，lim=e）的重要价值。

对数是一种运算，理解a=N的实质。

对数运算的实质是简化计算，正如法国数学家拉普拉斯所说：“由于对数的发现，天文学家的寿命延长了许多倍。”

（2）教学过程

创设情境，导入新课。

某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%（设该物质的最初质量为1）。

【问题1】你能就此情境提出数学问题吗？

学生尝试着回答：

①5年后，该种物质的剩留量是多少？（y=0.845）

②经过多少年这种物质的剩留量是原来的一半？

师：概括起来讲，大家可以提出如下的三类问题。

设ab=N，①已知a和b，求N；②已知b和N，求a；③已知a和N，求b。

【评价】“问题1”是一个课题性问题，即提出了一个研究课题，为学生思维活动提供了动力，同时为学生的思维活动留有较大的空间，也具有较大的难度，往往学生不能全面回答，其实我们也不一定指望学生全面回答。但三类问题中，由于只有问题③是新的问题，是从审美的愿望出发，促使学生产生一举攻克的强烈愿望。学生从审美和完善知识结构的角度初步产生引入新概念（对数）的意识。

类比归纳，形成概念。

【问题2】如果2b=3，b唯一存在吗？

生：这样的b是唯一存在的。

师：请说明理由。

生：考察函数y=2x的值域（0，+∞），因为21=2<3，22=4>3，有理由作出猜想：这样的b是唯一存在的，应该介于1和2之间。现在看看是否可以，事实上2=<3，表明

【评价】这样“猜测——验证——逼近”的思维方法非常重要。

当然，更多的学生是从图象上发现b是唯一存在的。作出函数y=2x的图象，观察y=3与y=2x图象的交点情况，不难发现b不仅是存在的，而且是唯一的。

教师继续追问，要求学生说明理由，学生则表现出“欲言又止”“说也说不清楚”。

这时，引入新的概念（对数）已经是水到渠成了。怎样引进呢？

【问题3】如果a2=2，你会求正数a吗？

没有学习过根式时，不知道a是什么值，引进根式后，我们就知道这个正数就是，而且是唯一存在的，还有明显的几何意义（边长为1的正方形对角线的长）。引进根式后，正数a就可以用符号表示了。

【评价】“问题3”是一个具体的导向性问题，学生经历过用符号语言表示新的数学对象的过程，通过这样的类比，会产生柳暗花明的效果。其实，研究的关键时刻引进一个符号，是数学家们常用的方法。

这时，对数概念已呼之欲出了。怎样定义对数呢？

【问题4】如果ab=N，那么怎样表示呢？

一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，即ab=N，则称b是以a为底N的对数，记为logaN= b。

显然，ab=N？圳b=logaN。

【评价】“问题4”是一个产生对数概念的问题，教师进一步指出对数式和指数式的相互关系。

适度模仿，感知概念。

2b=2？圯b=log22=1；

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我们可以欣赏下面的图示，立刻就会发现很和谐，结构很完美，从而发出新的概念（对数）“得来全不费功夫”的感叹。

学生举例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

进一步理解指数式和对数式的互相转化，充分归纳，适度演绎，为对数求值提供了新的方法。

互化演练，感悟概念。

【问题5】将下列指数式改写成对数式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【问题6】将下列对数式化成指数式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

师：介绍特殊的对数，常用对数：log10a=lga；自然对数：logea=lna。

【评价】“问题5”和“问题6”的“互化演练”可以加深对对数概念的理解，两个特殊对数的介绍，让学生感到“事出有因”和“名正言顺”。

（3）教学简评

这样的教学，学生经历了提出问题的“惑”境到解决问题的“悟”境，实际上也就是建构概念和理解概念的过程，经历了扣人心弦的数学思维活动过程，感受到数学思想方法的熏陶，其内心深处受到了数学思想的浸润和数学文化的哺育。

这样的教学中，学生感受到对数产生的必要和合理，由特殊到一般，通过类比、符号化思想，领会了对数的实质，加强了对新概念的理解。

3.问题评价应促进深度思维。

德国教育家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在教学的过程中，依据问题的思维度和问题的功能作出适时的评价，通过调整、控制学生的后继思维行为，取得较为理想的效果，更是一种激励学生深度思维、促进问题解决的重要手段。

解决问题的活动是一项目标明确、受解题主体控制的有目的的活动。因此，在这个过程中，必须有意识地对问题进行评价，促进深度思维，对思维活动进行调节和控制，即监控。

（1）定向。即确定思考的方向，在具体解决问题的思维活动中，就是要选择一个“好”的思路，提出一个总的解决方案。

（2）控制。即对思维过程的监控与控制，它表现为对思维过程（思路、方案）的价值进行评估，并对关键部位进行确定和控制。

（3）调节。即对思维过程的价值所作出的反应，表现为思路的坚持、调整、修正或放弃。

上述三个环节，贯穿于整个解决问题的思维过程之中。实际上不仅在思维的开始，而且在整个过程的每一个分叉点上都要定向，并随之进行控制和调节，只有对问题的思维过程作出有效的监控，才能保证思维活动的顺利进行。

在本课例中，对数概念的生成是在问题情境中引发的。问题情境引导学生发现问题、分析问题，感知实际的需要，感受到数学知识是为解决问题和完善知识结构的需要而生成的。对数概念的感悟是在观察中发现的，而在教学中，对数概念的建构是在类比中发现的，概念的深化是在互动中实现的。学生通过深度的思维活动，构建了对数概念，体现了学习的主体性，而教师则是通过一系列具有内部逻辑联系的问题为学生提供了思维活动的方向，起到了很好的控制和调节作用。这些问题的作用还表现在：承前启后的情境应用；自然而然的概念生成；贯穿始终的思想渗透。

（作者单位：江苏省扬州市邗江区教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我们可以欣赏下面的图示，立刻就会发现很和谐，结构很完美，从而发出新的概念（对数）“得来全不费功夫”的感叹。

学生举例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

进一步理解指数式和对数式的互相转化，充分归纳，适度演绎，为对数求值提供了新的方法。

互化演练，感悟概念。

【问题5】将下列指数式改写成对数式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【问题6】将下列对数式化成指数式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

师：介绍特殊的对数，常用对数：log10a=lga；自然对数：logea=lna。

【评价】“问题5”和“问题6”的“互化演练”可以加深对对数概念的理解，两个特殊对数的介绍，让学生感到“事出有因”和“名正言顺”。

（3）教学简评

这样的教学，学生经历了提出问题的“惑”境到解决问题的“悟”境，实际上也就是建构概念和理解概念的过程，经历了扣人心弦的数学思维活动过程，感受到数学思想方法的熏陶，其内心深处受到了数学思想的浸润和数学文化的哺育。

这样的教学中，学生感受到对数产生的必要和合理，由特殊到一般，通过类比、符号化思想，领会了对数的实质，加强了对新概念的理解。

3.问题评价应促进深度思维。

德国教育家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在教学的过程中，依据问题的思维度和问题的功能作出适时的评价，通过调整、控制学生的后继思维行为，取得较为理想的效果，更是一种激励学生深度思维、促进问题解决的重要手段。

解决问题的活动是一项目标明确、受解题主体控制的有目的的活动。因此，在这个过程中，必须有意识地对问题进行评价，促进深度思维，对思维活动进行调节和控制，即监控。

（1）定向。即确定思考的方向，在具体解决问题的思维活动中，就是要选择一个“好”的思路，提出一个总的解决方案。

（2）控制。即对思维过程的监控与控制，它表现为对思维过程（思路、方案）的价值进行评估，并对关键部位进行确定和控制。

（3）调节。即对思维过程的价值所作出的反应，表现为思路的坚持、调整、修正或放弃。

上述三个环节，贯穿于整个解决问题的思维过程之中。实际上不仅在思维的开始，而且在整个过程的每一个分叉点上都要定向，并随之进行控制和调节，只有对问题的思维过程作出有效的监控，才能保证思维活动的顺利进行。

在本课例中，对数概念的生成是在问题情境中引发的。问题情境引导学生发现问题、分析问题，感知实际的需要，感受到数学知识是为解决问题和完善知识结构的需要而生成的。对数概念的感悟是在观察中发现的，而在教学中，对数概念的建构是在类比中发现的，概念的深化是在互动中实现的。学生通过深度的思维活动，构建了对数概念，体现了学习的主体性，而教师则是通过一系列具有内部逻辑联系的问题为学生提供了思维活动的方向，起到了很好的控制和调节作用。这些问题的作用还表现在：承前启后的情境应用；自然而然的概念生成；贯穿始终的思想渗透。

（作者单位：江苏省扬州市邗江区教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我们可以欣赏下面的图示，立刻就会发现很和谐，结构很完美，从而发出新的概念（对数）“得来全不费功夫”的感叹。

学生举例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

进一步理解指数式和对数式的互相转化，充分归纳，适度演绎，为对数求值提供了新的方法。

互化演练，感悟概念。

【问题5】将下列指数式改写成对数式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【问题6】将下列对数式化成指数式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

师：介绍特殊的对数，常用对数：log10a=lga；自然对数：logea=lna。

【评价】“问题5”和“问题6”的“互化演练”可以加深对对数概念的理解，两个特殊对数的介绍，让学生感到“事出有因”和“名正言顺”。

（3）教学简评

这样的教学，学生经历了提出问题的“惑”境到解决问题的“悟”境，实际上也就是建构概念和理解概念的过程，经历了扣人心弦的数学思维活动过程，感受到数学思想方法的熏陶，其内心深处受到了数学思想的浸润和数学文化的哺育。

这样的教学中，学生感受到对数产生的必要和合理，由特殊到一般，通过类比、符号化思想，领会了对数的实质，加强了对新概念的理解。

3.问题评价应促进深度思维。

德国教育家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在教学的过程中，依据问题的思维度和问题的功能作出适时的评价，通过调整、控制学生的后继思维行为，取得较为理想的效果，更是一种激励学生深度思维、促进问题解决的重要手段。

解决问题的活动是一项目标明确、受解题主体控制的有目的的活动。因此，在这个过程中，必须有意识地对问题进行评价，促进深度思维，对思维活动进行调节和控制，即监控。

（1）定向。即确定思考的方向，在具体解决问题的思维活动中，就是要选择一个“好”的思路，提出一个总的解决方案。

（2）控制。即对思维过程的监控与控制，它表现为对思维过程（思路、方案）的价值进行评估，并对关键部位进行确定和控制。

（3）调节。即对思维过程的价值所作出的反应，表现为思路的坚持、调整、修正或放弃。

上述三个环节，贯穿于整个解决问题的思维过程之中。实际上不仅在思维的开始，而且在整个过程的每一个分叉点上都要定向，并随之进行控制和调节，只有对问题的思维过程作出有效的监控，才能保证思维活动的顺利进行。

在本课例中，对数概念的生成是在问题情境中引发的。问题情境引导学生发现问题、分析问题，感知实际的需要，感受到数学知识是为解决问题和完善知识结构的需要而生成的。对数概念的感悟是在观察中发现的，而在教学中，对数概念的建构是在类比中发现的，概念的深化是在互动中实现的。学生通过深度的思维活动，构建了对数概念，体现了学习的主体性，而教师则是通过一系列具有内部逻辑联系的问题为学生提供了思维活动的方向，起到了很好的控制和调节作用。这些问题的作用还表现在：承前启后的情境应用；自然而然的概念生成；贯穿始终的思想渗透。

（作者单位：江苏省扬州市邗江区教育局）