二次函数在高中数学中的应用浅探

谢永香

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint

笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现有以下的命题规律.

1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.

2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.

3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.

4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.

一、进一步深入理解函数概念

学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函数的图像、单调性及最值

在高中阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.

变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.

（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：函数的对称轴为x=-a，当-5<-a<5时，则f（-a）≥0；当-a≥5时，则f（5）≥0；当-a≤-5时，f（-5）≥0.该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法.

（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）

若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；

若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.

分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.

三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.

（2）若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.

分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到对称轴、判别式以及x=1的函数值的符号等.endprint