双旋制导火箭弹运动特性分析①

李 伟，王志刚

(1.西北工业大学 航天学院，西安 710072;2.航天飞行动力学技术重点实验室，西安 710072)

0 引言

通过滚转轴承连接的双旋弹体是火箭弹加装制导设备的一种新型弹体结构，这种新型弹体结构可采用鸭舵对前段实施滚转控制，以保证捷联惯导的精度和解决GPS接收机在高速滚转情况下不利于接收卫星信号的难题［1－2］。有关双旋制导火箭弹的稳定性研究，目前国内外所发表的文献较少。与火箭弹稳定性研究相关的文献，大多是针对常规刚性弹体的自旋火箭弹［3－7］。也有针对双自旋航天器动力学问题展开研究的文献［8－10］，但大多数研究不考虑其气动特性。对于在大气层内飞行的双旋制导火箭弹，气动力和力矩起到主要作用，决定了火箭弹的飞行品质。因此，有必要开展双旋火箭弹的稳定性问题研究。

Mark和Allen［11］提出了双旋无控火箭弹的线性化理论，在此基础上分析了动态稳定因子和陀螺稳定因子对其稳定性的影响，文中给出的动态稳定因子没有考虑前后段的极转动惯量比，也就忽略了双旋弹体结构对火箭弹稳定性的影响因素，这对于稳定性的分析来说是不全面的。Dr Philippe Wernert［12］在文献［11］的基础上，进一步研究了加舵的双旋火箭弹的稳定性问题。但文中给出的陀螺稳定因子并未考虑赤道阻尼力矩对其影响，且没有针对各个气动系数对稳定性的影响展开进一步分析。

本文将从复数形式的角运动方程出发，采用微分方程特征根求取双旋制导火箭弹的动稳定因子和陀螺稳定因子。给出双旋制导火箭弹稳定性判据的数学解析解，并与常规刚体火箭弹稳定因子进行比较，分析二者的不同特性。

1 双旋制导火箭弹动力学模型

鉴于双旋制导火箭弹的特殊弹体结构，其运动模型包含3个平移运动和4个旋转运动。3个平移运动分别是整弹质心位置矢量的3个分量;4个旋转运动分别是俯仰运动、偏航运动、前段和后段的滚转运动。所用到的坐标系定义参看文献［13－14］。

1.1 质心运动动力学方程

由于火箭弹伸出鸭舵时处于火箭弹被动段，因此在动力学方程中仅考虑重力、空气动力。则质心运动动力学方程为

式中 u、v、w为火箭弹速度V在准弹体坐标系中的分量;－rtanψ、q、r为准弹体坐标系相对地面惯性坐标系的角速度在准弹体系中的分量;ψ为偏航角;m为整弹质量;Fx4、Fy4、Fz4为作用力F在准弹体坐标系中的分量。

1.2 绕质心转动动力学方程

由文献［15］可知，前段和后段的俯仰、偏航运动同整弹是一致的，仅在滚转方向不同。因此，双旋制导火箭弹绕质心转动的动力学方程为

式中 C为火箭弹绕纵轴x的极转动惯量;A为绕体轴y和z的赤道转动惯量;Mx4、My4、Mz4为火箭弹受到的外力矩M在准弹体坐标系中投影;下标f代表前段，下标a代表后段;A=Af+Aa;C=Cf+Ca。

2 力和力矩的复数形式

火箭弹角运动模型是用来描述火箭弹弹轴的摆动运动特性，故力和力矩的复数形式是由其在准弹体坐标系中oy4轴和oz4轴中的分量构成，其中重力、气动力和气动力矩的分量表达式可参见文献［13］，则火箭弹受到的力和力矩的复数形式如下:

重力复数式为

式中 g为重力加速度;ϑ为俯仰角。

阻力复数式为

式中 ρ为大气密度;S为火箭弹特征面积(即火箭弹最大横截面积);Cx为火箭弹阻力系数，Cx＞0;Vr为火箭弹相对于空气的速度;V为火箭弹速度矢量V的模;α*、β*分别为准攻角和准侧滑角;W=［Wx4Wy4Wz4］T为当时当地(火箭弹质心处)的风速矢量在准弹体坐标系下的投影。

升力复数式为

式中 C＇y为升力系数对相对攻角τr的导数，τr为相对速度Vr与弹轴之间的夹角;Vrx4、Vry4、Vrz4表示相对速度Vr在准弹体坐标系下的投影。

马格努斯力复数式为

式中 d为火箭弹横向参考长度(即弹径长度)、C″z为火箭弹马格努斯力系数分别对无量纲自旋速度p－和相对攻角τr的二阶导数。控制力复数形式为

式中 Sc是鸭舵的表面积;δy=(δ1+δ3)/2是1号舵和3号舵平均舵偏;δz=(δ2+δ4)/2是2号舵和4号舵平均舵偏是每片舵法向力系数对速度与舵之间夹角的导数是修正准攻角，该角度是速度在准弹体坐标系中ox4y4平面内的投影与弹轴之间的夹角。

静力矩复数式为

式中 l为火箭弹纵向参考长度(即弹长);m＇z为火箭弹静力矩系数对相对攻角的导数。

赤道阻尼力矩复数式为

式中 m＇zd为火箭弹赤道阻尼力矩系数对无量纲的摆动角速度 的导数，m＇zd＞0。

马格努斯力矩复数式为

控制力矩复数形式为

式中 xc=xg－xcanard，是鸭舵转轴在弹轴上的位置到整弹质心的距离，其中xg是质心到弹顶的距离，xcanard是鸭舵转轴在弹轴上的位置到弹顶的距离。

由式(3)～式(13)可得，双旋制导火箭弹力和力矩的复数形式为

3 双旋火箭弹角运动模型

研究扰动运动，特别是火箭弹飞行稳定性问题，最关心的是攻角变化律。图1描述了攻角的几何关系。速度矢量V在准弹体系中的三分量与总攻角τ的二分量α*和β*有关。

图1 总攻角的几何描述Fig.1 Geometric description of general attack angle

在小攻角情况下，可近似认为

对式(16)求导，并略去 α*、β*、q、r、ψ 小量的乘积项，可得

对方程组(2)中最后两式变形，并略去小量乘积项，可得

简化后的方程组直接求解较困难，可将角运动方程组表示为复数形式。定义复数形式的攻角Δ=α*－iβ*、角速度 μ=q+ir、复数形式舵偏角 δc=δz+iδy、复数形式垂直风 W┴=Wy4+iWz4，结合式(17)、式(18)，整理得

将式(19)和式(20)自变量变为弹道弧长s。对任意变量X，有:

记X″、X＇分别为变量X对s的二阶导数和一阶导数。为方便分析攻角运动稳定性，不考虑气动系数和舵偏角随时间的变化，g┴、W┴近似认为恒定不变。则角运动方程为

4 运动稳定性分析

式(21)是攻角运动的线性形式，可近似描述双旋制导火箭弹的攻角运动特性。根据齐次方程特征根实部的正负，可判断攻角运动稳定性。令方程特征根为

其通解为二圆模式［13］。故攻角运动在复平面上呈现快、慢圆运动的叠加，其幅值的变化趋势依赖于阻尼指数dj的正负。复攻角运动收敛要求快、慢圆运动阻尼指数均小于零。

4．1 稳定性判据

为了研究双旋制导火箭弹快、慢圆运动的收敛性，需得到H、P、M、T与频率和阻尼指数间的关系，它们使空气动力系数与火箭弹运动参数直接联系起来，令:

当B＞0时，可得齐次方程的根为

当B＜0时，可得齐次方程的根

当B=0时，可得齐次方程的根

从式(23)～式(26)看出，无论B是正是负，快圆的圆频率和慢圆的圆频率都是不变的，B=0时，两圆运动的频率相同，但3种情况下的阻尼指数有所不同。当H≤0时，可看出双旋制导火箭弹弹轴的圆运动是不稳定的，只有当H＞0时，才有可能出现稳定的运动。将式中的H变形得

因为 bx＞0，by＞0，kzd＞0，bc＞0，因此 H 的正负取决于式(29)右端前2项。显然，当火箭弹处于推力段时，即H＞0;当推力段结束，会出现的情况，但火箭弹速度较快(Ma＞1)的量级相比式(29)右端后4项之和小100倍左右，如图2所示，给出式(29)右端前2项之和与by项在火箭弹整个飞行过程中的变化曲线，从图2可看出，在火箭弹飞行过程中，总有 H＞0。

当B＞0时，慢圆运动是稳定的，快圆运动不一定稳定;当B＜0时，快圆运动是稳定的，慢圆运动不一定稳定。为使快、慢圆运动都是稳定的，必须满足如下关系式:

当B=0时，为使两圆运动都稳定，必须满足如下关系式:

图2 系数对比Fig.2 Comparison of coefficient

定义陀螺稳定因子Sg=P2/4M，动稳定因子Sd=2T/H－1，则有

根据文献［13］知，式(32)为动态稳定性判据，式(33)为陀螺稳定性判据。可见，动态稳定的双旋制导火箭弹必然陀螺稳定，但陀螺稳定的弹不一定动态稳定，故式(32)即为双旋制导火箭弹动稳定性判据。

4.2 稳定性分析

工程计算中，可对H、P、M、T进行适当的简化:不考虑马格努斯力bz的作用(马格努斯力不到法向力的5%);不考虑几何非线性，η＇≈0，η=u/V≈1;由式(29)的分析可知，V＇/V远小于H等式右端后4项，因此可忽略。通过这些简化，可得到如下近似表达式:

式(34)～式(37)给出的陀螺稳定因子、动稳定因子以及稳定性判据，与文献［12］给出的相应结果比较，在形式上本文给出的结果引入了控制力对赤道阻尼力矩的影响，即kzdbc项。

在使用式(36)和式(37)进行稳定性判定时，还需确定两判据适用于快圆运动还是慢圆运动。因此，需引入B:

从式(38)可看出，B的正负P和Sd有关。简化后的 P=(Cfγ＇f+Caγ＇a)/A，正负取决于双旋火箭弹后段的转速(前段转速远小于后段)。因此，以下给出的结论是在P≥0(即后段自旋速度为正)的条件下得到的。至于P＜0的情况分析方法与P≥0相同，在此不再详述。P≥0的情况下，当B≥0，即Sd≥0，式(36)是快圆运动的稳定性判据;当 B＜0，即 Sd＜0，式(37)是慢圆运动的稳定性判据。根据双旋制导火箭弹的布局结构可知，鸭舵安装在火箭弹前段，即 xc＞0，kc＞0。因此，可得出如下结论:

(1)静力矩系数kz。kz系数与导弹中静稳定系数作用相同，代表双旋制导火箭弹的静稳定性。通常情况下，加装鸭舵后不会影响整弹的静稳定性，因此有|kc|＜|kz|。从式(36)和式(37)可看出，双旋制导火箭弹的静稳定性越强(kz＜0)，越有利于不等式(36)和式(37)成立，即有利于动稳定性;反之，静不稳定时，会对火箭弹的动稳定性产生不利影响。一般情况下，静力矩是双旋制导火箭弹角运动的主要作用，在各作用中影响最大。

(2)赤道阻尼力矩系数kzd:kzd系数在飞行过程中都是大于零的，从式(36)可以看出kzd系数对快圆运动总起稳定作用。但对慢圆运动所起作用取决于kzd系数对应项的正负，即当双旋制导火箭弹是静稳定的，kzd系数有利于慢圆运动的稳定性;若火箭弹是静不稳定的，则kzd系数不利于慢圆运动的稳定性。

(3)法向力系数bN。从式(37)可看出，bN系数对慢圆运动的稳定性总是有利的。当火箭弹是静稳定的，bN系数对快圆运动的稳定性是有利的;当火箭弹是静不稳定的，bN系数会对快圆运动的稳定性产生不利影响。

(4)马格努斯力矩系数kfy、kay。鉴于弹体的特殊结构，双旋制导火箭弹前段由于滚转轴承的作用，大大减弱了其自旋速度，马格努斯力矩系数对火箭弹稳定性的影响主要取决于后段。由式(36)和式(37)可知，无论kay取正负，它的存在总会对两圆运动中的其中一个稳定性产生不利影响。因此，马格努斯力矩总是一个不稳定的因素。

(5)马格努斯力系数bhz、baz。通常情况下，马格努斯力不到法向力的5%，研究可不考虑。

(6)控制力系数bc。当火箭弹是静稳定的，则bc系数对快圆运动的稳定性是有利的;当火箭弹静不稳定时，bc系数对快圆运动的稳定性是不利的。对于慢圆运动而言，bc系数对其稳定性总是有利的。

(7)控制力矩系数kc。从式(36)和式(37)可看出，kc系数总对火箭弹的动稳定性产生不利影响。

4.3 稳定因子比较

为了进一步研究双旋弹体结构对火箭弹运动特性的影响，现引入改型前相同外形尺寸的常规无控火箭弹，将二者的稳定因子进行分析比较。由式(32)可看出，动稳定因子在动稳定性判据中不是独立存在的，其中含有陀螺稳定因子，在对比2种火箭弹之间的动稳定性时，仅通过对比2种动稳定因子的大小是无法确定其动稳定边界的大小。因此，以下仅针对双旋制导火箭弹和常规无控火箭弹的陀螺稳定因子进行对比分析。

［13］，可得到常规无控火箭弹在无风干扰情况下的陀螺稳定因子:

假设常规无控火箭弹的自旋角速度与双旋制导火箭弹的后段自旋角速度相同，即·γ≈·γa;二者的总转动惯量和质心位置相同;相对速度大小近似为Vr=V－W，W为风速矢量W的模，则式(34)除以式(39)，并整理得

从式(40)可看出，影响双旋制导火箭弹陀螺稳定性的因素有3个:

综上分析，双旋制导火箭弹和常规无控火箭弹的陀螺稳定因子比可改写为

由式(41)可看出，简化后的结果与文献［12］给出的结果一致。本文研究的双旋制导火箭弹，其鸭舵的外形尺寸和位置是给定的，即 xc=0.885 m，Sc=20 cm2。因此，接下来的讨论基于以下两点开展:

(1)不考虑鸭舵尺寸和位置的变化;

(2)转动惯量Cf和Ca的变化不影响双旋制导火箭弹整弹质心位置的变化。

式(41)中，l=3 m，S=116 cm2，且由于CNδ＞0，所以当双旋制导火箭弹和常规无控火箭弹是旋转稳定弹时(即 m＇z＞0)，则即鸭舵的引入会不利于双旋制导火箭弹的陀螺稳定性。当双旋制导火箭弹和常规无控火箭弹是静稳定弹时(即m＇z＜0)，则即鸭舵的引入会有利于双旋制导火箭弹的陀螺稳定性。

如图3所示，S1曲面为陀螺稳定因子比随转动惯量比和滚转角速度比变化的曲面图，当Cf/Ca=0和=1时，曲面S1上的2条交线组成的平面为S2，可看出，平面S2和Sg/Syg=1的平面S3不相等，这是由于鸭舵的影响，使得火箭弹的陀螺稳定性发生了改变。位于平面S3以上的曲面S1部分表示此时的双旋制导火箭弹的陀螺稳定性高于同外形尺寸的常规无控火箭弹。

当转动惯量比一定时，可通过提高滚转角速度比的大小来加强陀螺稳定性;也可令前后段滚转方向相反，增加的值来提高陀螺稳定性，但这种方案需要前段滚转速度的绝对值远大于后段，此时就会不利于导航设备正常工作。因此，在导航设备能够正常工作的转速情况下，保持前后段转速方向一致，通过加大前段转速或减小后段转速，可提高双旋制导火箭弹的陀螺稳定性。

当滚转角速度比一定时，可通过提高转动惯量比Cf/Ca的大小来加强双旋制导火箭弹的陀螺稳定性。

图3 陀螺稳定因子比随转动惯量比和滚转角速度比变化的曲面图Fig.3 Ratio of gyroscopic stability coefficients vs inertia moment ratio and spin rates ratio

5 结论

(1)双旋制导火箭弹的静力矩系数是角运动的主要作用，静稳定的火箭弹对动稳定性是有利的;赤道阻尼力矩系数对快圆运动总起稳定作用，而法向力系数对慢圆运动的稳定性总是有利的;对于双旋制导火箭弹，马格努斯力矩总是一个不稳定的因素;鸭舵的引入所带来的控制力系数对其慢圆运动总起有利作用，而控制力矩系数则相反，它总对双旋制导火箭弹的动稳定性产生不利影响。

(2)采用双旋弹体方案的改型弹与改型前的火箭弹相比，在转动惯量比一定时，保持前后段转速方向一致，可通过加大前段转速或减小后段转速来提高双旋制导火箭弹陀螺稳定性，但前段转速不能超过导航系统正常工作的转速上限。

(3)与改型前的火箭弹相比，改型后的双旋制导火箭弹在转速比一定时，可通过提高转动惯量比的大小来加强双旋制导火箭弹的陀螺稳定性。例如，在研制初样阶段前，可通过改变战斗部的大小来调整前后段尺寸，达到增加稳定性、提高命中精度的目的。

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