耦合Burgers方程的对称群和新精确解

杨立娟, 杨琼芬, 杜先云

(1. 绵阳师范学院 数学与计算机科学学院, 四川 绵阳 621000; 2. 成都信息工程学院 数学学院, 四川 成都 610225 )

非线性发展方程可以描述物理、化学、生物等众多科学领域中的复杂现象,因而求解非线性发展方程一直受到物理学家和数学家的关注.近年来也发展了一些行之有效的求解方法,例如反散射方法、Bäcklund变换法、齐次平衡法、Jacobi椭圆函数展开法、辅助方程法等.

李群方法[1-4]是研究非线性发展方程的对称,守恒律及求精确解的有力工具之一.然而,对许多非线性系统特别是高阶多维的非线性系统而言,运用李群方法寻求非线性系统的李代数计算非常复杂.而应用推广的CK直接方法[5-6],可以方便的求出方程的一般对称群、李点对称群以及李对称.

Burgers方程

qt+qxx+2qqx=0,

(1)

是非线性系统中最重要的模型之一.许多非线性现象可以用Burgers方程来描述[7-9]. 近来,一些推广的Burgers方程被提出并得到了深入的研究[10-12].

将利用推广的直接约化方法研究耦合Burgers方程的对称、不变量,并约化方程求方程的精确解.

(2)

其中c是常数.

耦合Burgers方程也可以应用到许多物理领域,例如,该模型可以从2层不可压缩的无黏流体的欧拉方程组中推导出来.显然当q=0,耦合Burgers方程(2)退化为(1).

1 耦合Burgers方程的对称群

由推广的直接约化方法,假设方程(2)有如下形式的解

(3)

其中,αi=αi(x,t),βi=βi(x,t)(i=1,2),ξ=ξ(x,t),τ=τ(x,t)是x、t的待定函数,同时要求P(ξ,τ)、Q(ξ,τ)关于ξ、τ满足类似于(2)式的方程,即

(4)

将(3)式代入(2)式中第一个方程,并利用(4)式得

(5)

其中F1与Pττ无关,从而τx=0.

将τx=0代入(5)式,令P、Q及其各阶导数的系数为零,可得

α1t+α1xx+2α1α1x+2cα2α2x=0,

β1t+β1xx+2α1β1x+2α1xβ1=0,

β1ξt+2β1xξx+β1ξxx+2α1β1ξx=0,

2β1β1x=0,

2cα2β2x+2cα2xβ2=0,

2cα2β2ξx=0,2β2β2x=0.

(6)

将(3)式代入(2)式中第2个方程,并利用(4)式,且令P、Q及其各阶导数的系数为零,可得

β2t+2α1xβ2=0,

β2ξt+β2ξxx+2α1β2ξx=0,

-τt+β1ξx=0,

(7)

求解方程组(6)和(7)得

β1=δc1,β2=δc1,δ=±1,

(8)

和

(9)

其中ci(i=1,…,7)是常数.由上面计算结果,对于耦合Burgers方程,可以得到如下定理.

定理1如果P(ξ,τ)、Q(ξ,τ)是耦合Burgers方程的解,那么

和

(11)

也是方程的解.

根据定理1,由耦合Burgers方程的已知解可以得到新的精确解.从而可以推广已有文献的一些结果.并且(10)式是耦合Burgers方程的对称群.如果令

δ=1,c1=1+εC1,

c2=εC2,c3=εC3,c4=εC4,

其中,ε是无穷小参数,Ci(i=1,2,…,4)是任意常数.由定理1,则得到方程的李点对称为

σ≡σ1(C1)+σ2(C2)+σ3(C3)+σ4(C4)=

(12)

2 耦合Burgers方程的对称约化及新精确解

由上面求出的方程的对称,可以求出方程的约化及新精确解.为此,解如下的特征方程

(13)

通过对方程(13)的不同情况分析,可以得到方程的不变量和约化方程.

情形Ⅰ

C1=C4=0,C2≠0,C3≠0,

其中不变量为

其约化方程为

情形Ⅱ

C1=C2=0,C3≠0,C4=0,

其中,不变量为

其约化方程为

情形Ⅲ

C1=0,C2≠0,C3≠0,C4≠0,

其不变量为

其约化方程为

情形Ⅳ

C1=0,C2≠0,C3=0,C4≠0,

其中不变量为

其约化方程为

为了得到耦合Burgers方程的精确解,需要求解约化方程,这里只讨论第Ⅳ种情况.其他情况可以类似讨论.

(14)

(15)

其中,u′=u′(η),v′=v′(η),η=x+lt.

(16)

其中,m和n是正整数,ai,bj(i=1,…,n,j=1,…,m)是待定的常数.G=G(η)满足下面的二阶线性常微分方程

G″+λG′+μG=0,

(17)

其中λ、μ是常数.根据齐次平衡原则,计算得m=n=1,从而

(18)

(19)

其中λ、l、b0、c是任意常数.将(19)式及(17)式的解代入(18)式,就可以得到(15)式的解,下面讨论解的各种情况.

1)λ2-4μ>0,求解(17)式得

如果以(20)式作为种子解,利用定理1,就可以得到耦合Burgers方程的新的精确解.利用(11)式可写出一组解

2)λ2-4μ<0,求解(17)式得

利用(18)和(19)式可得

(21)

3)λ2-4μ=0,求解(17)式得

(22)

如果以(21)和(22)式作为种子解,利用定理1,同样可以得到耦合Burgers方程新的精确解.

3 结论

利用推广的直接约化方法,求出了耦合Burgers方程的一般对称群和李点对称,建立了方程新旧解之间的关系,推广了以有文献的结果.而且进一步利用对称求出了不变量和约化方程,通过求解约化方程,得到耦合Burgers方程的新精确解,若结合定理1,还可以得到群不变解.文中只求解了约化方程Ⅳ,如果求解其它的约化方程,同样可以得到方程的解,再利用定理1,就可以得到耦合Burgers方程大量的新的精确解.

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