空间机械臂用多级2K-H行星传动系统模块化动力学研究

刘明, 赵永强, 徐冬梅, 李瑰贤

(哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001)

国内外对多级行星齿轮传动系统动态特性的研究多集中在航空和船舶领域。

孙智民等[1]对航空用2级封闭行星传动系统进行了动载荷的研究;鲍和云、朱如鹏等[2]对航空用2级星型齿轮传动系统进行了均载及动态特性的研究,但所研究的对象仍属于定轴轮系范畴;赵永强[3]考虑了行星轮位置相角的时变性,对舰船用2级串联混合行星传动系统进行了非线性动力学的研究,但没有提出具体的设计指导建议。秦大同等[4]建立了盾构用3级行星齿轮传动的纯扭转动力学模型,计算了啮合相位关系,用梯形波表示时变啮合刚度,考虑了时变啮合刚度、误差等因素,求解了传动系统动态响应,分析了传动系统各构件的振动响应和齿轮振动加速度的时域和频域曲线。文献[5]中基于平移-扭转耦合模型,对复式行星传动系统的固有特性进行了研究,计算了传动系统的固有频率和振动矢量,归纳总结了复式行星传动系统的振动模态。文献[6]对船舶减速器用封闭式人字齿轮行星系统的固有特性进行了研究,得出了封闭式人字齿轮行星系统5种振动模态,并分析了输入转速对固有频率的影响。朱自冰等[7]建立了2级星型传动系统的非线性纯扭转模型,研究了传动系统的非线性动力学特性,分析了在不同参数条件和不同的激振频率下,系统通往混沌的道路:单周期通向混沌、倍周期激变为混沌和拟周期通向混沌的道路。潘博等[8]基于纯扭转模型,建立了空间机械臂关节3级减速器的动力学模型,计算了3级减速器的动力学特性,分析了齿轮精度、关节转速以及负载对传动系统动力学特性的影响。

Guo和Parker在文献[9]中研究了复合行星传动系统固有特性的参数敏感度,分析了改变系统参数时(如刚度参数、惯性参数)固有频率和振型的变化。

上述文献针对各自的研究对象,均从整个系统的角度出发,建立了系统的动力学模型,进行了相关的动力学研究。如果改变系统传动形式,就需要重新建立相对应的动力学模型,再进行研究。此种建模方法称为整体式建模方法,这种建模方法不便于通过动态性能分析快速选取传动方案,模型不具有通用性,不仅复杂耗时,而且在重建模型过程中极易出现错误。为克服上述缺点,本文采用模块化建模思想,建立通用的模块化系统动力学模型,使其不局限于某一种传动形式,有助于传动方案的快速选取和动力学特性的研究。

1 模块化动力学模型的建立

1.1 传动方案及计算模型

本文研究的传动系统采用多级2K-H行星传动的串联,传动方案简图如图1所示,每级2K-H行星传动均由太阳轮s、行星轮p、齿圈r和行星架H组成。上一级的行星架与下一级的太阳轮相连接。输入构件为第1级太阳轮轴,输出构件为第N级行星架。

图1 多级行星传动系统传动方案

图2为多级行星传动系统第i级2K-H行星传动修正的扭转模型,由于传动方案中每级组成均相同,所以只给出单级计算模型。

图2 单级集中参数计算模型

传递扭转运动是N级2K-H行星传动系统的核心功能,聚焦扭转振动可以合理简化仿真过程,突出核心功能。但在力求精简的同时,还需要与实际振动符合,不能只单纯追求简单,因此图2所示的集中参数计算模型采用了修正的扭转模型。修正的扭转模型不但考虑了各构件的扭转自由度,还考虑了行星轮沿行星架切向的平移自由度以及行星轮轴的切向支撑刚度。

1.2 模块化思想

将系统划分为4级模块模型,通过调用每级模块模型建立通用的行星齿轮传动系统的动力学模型。

每级模块模型的具体组成如下所示:

1) 1级模块模型的建立

1级模块为1对齿轮的啮合,具体包括内啮合(齿圈与行星轮)和外啮合(太阳轮与行星轮)。基于修正的扭转模型,在每个齿轮构件各自坐标系中,考虑各构件扭转方向和行星轮沿行星架切向的自由度,建立1对齿轮的动力学模型。建模时需要确定啮合变形力、啮合阻尼力和摩擦力。

2) 2级模块模型的建立

2级模块包括多对齿轮啮合模块和行星架模块。多对齿轮啮合模块为太阳轮与多个行星轮和齿圈与多个行星轮的啮合,行星轮的个数受装配条件的限制。考虑各行星轮轴的影响和轴连接关系,建立行星架模块的动力学模型。其中轴连接包括行星架与中心轮轴之间的连接和双联行星轮间的轴连接。

3) 3级模块模型的建立

调用1级模块和2级模块,可建立起3级模块,即多级行星传动系统中某单级传动的动力学模型。单级行星传动系统不局限于某一种行星传动类型,可根据设计需要在上几级模块中调用选取。调用1级模块和2级模块后,形成的第i级行星传动动力学模型。

4) 4级模块模型的建立

考虑每个模块自身及模块间的耦合连接,依次调用前3级模块,即可建立多级行星齿轮传动系统非线性动力学微分方程组,即4级模块。

同时,通过对相应边界条件的适当界定,上述4级模块模型便可用于建立含定轴轮系的传动系统的动力学模型,使其不局限于多级2K-H行星传动系统。具体划分如图3所示。

图3 多级行星传动系统模块化划分

1.3 模块化动力学模型

按照划分的模块,考虑时变啮合刚度、阻尼等因素,对各部件进行受力分析,建立各模块的动力学方程。

1) 1、2级模块

由于1级模块只是1对齿轮的啮合,它包括在2级模块中,所以直接给出2级模块动力学方程建立过程。篇幅限制,2级模块中只给出行星轮与多个中心轮的动力学方程,其他构件的动力学方程参见文献[3]。

行星轮受力主要由行星轮与太阳轮啮合的弹性变形力和啮合阻尼力,行星轮与齿圈啮合的弹性变形力、啮合阻尼力及切向支撑力组成。

得到行星轮切向和扭转方向运动微分方程为:

(1)

(2)

2) 3、4级模块

调用1级模块和2级模块,可建立多级行星传动中第i级单级传动的动力学模型。

(3)

考虑每级传动之间的耦合连接,在定坐标系下建立多级行星齿轮传动系统非线性动力学微分方程组,即4级模块:

(4)

式中：M为系统的质量矩阵;C为系统的阻尼矩阵;K为系统的刚度矩阵;T为驱动和负载力矩对应的当量力向量;F为内激励力向量;q为系统的广义自由度。

广义自由度的具体表示如(5)式所示:

(5)

需要说明的是,对于一般的多级行星传动,求解时调用1、2级通用模块,考虑模块间的连接关系,即可求解3、4级模块的系统微分方程。

2 模块化数值求解

对应模块化动力学模型,使用Matlab编制相对应的M文件,形成模块化M函数。

4级模块的组成如图3所示,其中1级模块,包含内啮合(齿圈与行星轮)函数和外啮合(太阳轮与行星轮)函数。其中内啮合函数与外啮合函数,如图4所示,需要确定啮合变形力力、啮合阻尼力和啮合摩擦力。

图4 齿轮外(内)啮合M函数的组成

2级模块包括多对齿轮啮合模块和行星架模块。其中行星架模块M函数组成如图5所示。

图5 行星架受力函数模块组成

通过调用1级和2级模块,可建立单级行星齿轮传动系统的动力学模型,即3级模块。3级模块中中心轮(太阳轮与齿圈)受力函数组成如图6所示,行星轮受力函数组成如图7所示。

图6 中心轮模块受力函数组成

图7 行星轮模块受力函数组成

考虑每级传动之间连接,调用3级模块,形成4级模块,即多级行星齿轮传动系统动力学微分方程组,其中每级行星传动级间连接的耦合力函数(coupling)由耦合变形力和耦合阻尼力组成。

3 计算结果与比较

采用数值积分方法对多级行星传动系统动力学微分方程进行求解。

以空间机械臂关节用4级2K-H行星传动系统为例(表1所示,只给出基本参数),输出扭矩1 000 N·m、输出转速0.5 r/min,对其动力学方程进行数值求解,得到系统的响应特性。由于篇幅限制,只给出第4级行星轮的动态响应结果,如图8所示。

图8 第4级行星轮响应结果

从响应结果中,可以了解各构件的响应幅值、振动规律以及相互联系,在此不再赘述。

为验证模块化模型的正确性,将模块化模型的动态响应结果与已经过实验验证并且成熟的整体建模方法得到的动态响应结果进行比较,如图9所示。

图9 第1级行星架动态响应结果对比

图9为第1级行星架模块化建模方法和整体建模方法求得的动态响应结果对比。实线表示使用模块化方法建模求解得到的传动系统各构件的动态响应,“∘”表示使用整体建模方法求解得到的传动系统各构件的动态响应。

在[0,0.01]的仿真时间内,随着时间的增加,吻合情况没有仿真开始阶段吻合程度好。这是因为求解多级行星传动系统微分方程采用的是ODE45求解器,此求解器采用的是变步长的4、5阶Runge-Kutta方法,步长是根据容许误差自动确定的。求解2种不同建模方法建立的动力学微分方程组时,步长大小不完全一样,导致产生的截断误差不相等,产生的误差随着仿真时间的增加逐渐累积,使得动态响应结果没有完全吻合。

从上述分析可以看出,模块化建模方式求解的动态响应结果与整体建模方式求解的动态响应结果基本吻合,具有一致性,模块化模型具有有效性。导致模块化建模和整体建模求解得到的动态响应结果对比吻合不一致的主要原因是数值计算误差,包括截断误差(由变步长引起)和拟合误差。

表1 系统基本参数

另外一种使得结果不完全吻合的原因为拟合误差。本文使用数值积分法对动力学微分方程组进行求解,当使用MATLAB软件的plot函数将数值结果以图形的形式展示时,需要对数值点进行拟合,会产生如图9局部放大部分所示的拟合误差。

表2 啮合参数

4 结 论

1) 突破传统建模方法,采用模块化思想,将系统划分为4级子模块,集成各级子模块,建立了多级行星传动系统模块化动力学模型,方便系统的动力学分析及传动方案的快速选取。

2) 建立与各模块对应的M函数,调用各级子模块,形成系统动力学方程组,使用ODE45求解器对其进行数值求解,得到了系统的时域及频域响应。

3) 对整体式建模与模块化建模所得响应结果进行了对比验证,验证了模块化模型的有效性,并分析了2种建模方法所得结果不完全吻合的原因。

参考文献：

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