凸肩叶片抗共振的模糊可靠性评估方法

张萌, 陆山

(西北工业大学 动力与能源学院, 陕西 西安 710072)

叶片是航空发动机的主要部件之一,由于共振引起的叶片故障往往占发动机零件疲劳故障的30%～40%,研究叶片的抗共振可靠性具有重要意义。叶片振动过程中含有大量的模糊因素[1]，主要有2大类:①振动失效区域的模糊性；②基本变量的模糊性。考虑前者的可靠性模型称为基于状态模糊性的振动可靠性模型;考虑后者的可靠性模型称为基于变量模糊性的振动可靠性模型。目前关于构件抗共振的模糊可靠性研究成果较少,且均为基于状态模糊性的振动可靠性研究[2-4]。这些研究都只考虑了共振失效域的模糊性,而忽略了振动固有频率的模糊性。因此,本文将分析带阻尼结构(如凸肩)叶片固有频率的客观模糊性,建立基于变量模糊性的叶片抗共振模糊可靠度模型。

1 带阻尼结构叶片固有频率的模糊性

带阻尼结构叶片固有频率的模糊性主要源于:

1) 带阻尼结构(如凸肩)叶片的固有频率受到众多因素的影响,其中有些因素对固有频率的影响比较复杂,还有些因素(如凸肩相对榫齿周向位置偏移,榫头榫槽安装紧度等)对固有频率的影响尚无规律可言,甚至存在某些未知的偶然因素也会对其产生影响,这使得带阻尼结构叶片的固有频率本身具有模糊性;

2) 固有频率的获取过程具有模糊性,试验方案的制定、试验装置或者算法和程序的设计等,都依赖试验人员的经验和主观意识,而经验和意识本身就是模糊的；此外,设备的完备程度、稳定程度(如带凸肩平板叶片固有特性试验时,接触压力在振动过程中本身就是变化的,因而测不准[5])等,也带有一定的模糊性。

可见，只从随机的角度来解释固有频率是不够的，还应引入模糊理论对常规方法进行补充和修正。

2 模糊性的描述

步骤1 确定固有频率中值m

1) 确定统计区间[TL,TU];其中下限TL应比数据最小值略小,而上限TU应比数据最大值略大;

2) 给定分组数k,计算组距l并分组;分组区间为[si,si+1](i=1,…,k),其中si=TL+l(i-1);

3) 统计落在各分组区间内的数据个数Ni,并求出Nmax=max(N1,N2,…,Nk);

4) 判断:若Nmax=Nj(j∈{1,…,k})且j值唯一,则为有效分组,此时以分组区间[sj,sj+1]的组中值mj=(sj+sj+1)/2作为固有频率中值,即令m=mj;若j值不唯一,则为无效分组,此时应改变分组数,重复步骤2～步骤4,直至分组有效。

步骤2 确定各分组区间组中值及其隶属度

计算各分组区间[si,si+1](i=1,…,k)组中值mi,取Di=Ni/Nj为mi的隶属度,则得数据点列(mi,Di)(i=1,…,k);

步骤3 处理数据,拟合隶属函数

1) 对(mi,Di)(i=1,…,k)进行处理;删去隶属度为0的中间数据,即:若Di=0,并存在ri且Dr≠0,Ds≠0,则删去(mi,Di)。处理后得新的数据列(mij,Dij)(j=1,…,p)且p≤k;

2) 以数据(mj,1)为分界点,对数据点列(mij,Dij)(ij≤j)在约束L(mj)=1下进行拟合,得到L(x);对数据点列(mij,Dij)(ij≥j)在约束R(mj)=1下进行拟合,得到R(x);

步骤4 隶属函数性质检验与改写

对拟合出的函数L(x)和R(x)进行性质检验,确保L(x)和R(x)满足单点L-R型隶属函数的定义。若其值域可取负值,则应对其进行非负截断改写,即:若L(x1)=0,则定义x≤x1时,L(x)≡0;若R(x2)=0,则定义x≥x2时,R(x)≡0。

至此,中值m、函数L(x)和R(x)均已得到,固有频率的隶属函数得以确定。

3 叶片抗共振的模糊可靠度模型

(1)

(2)

截集可靠度与所取阈值λ有关,且λ在[0,1]内可等概率随机给出,因此可利用截集可靠度Rλ对λ的期望值作为可靠度的最终评估结果:

(3)

特别地,当固有频率的隶属函数在论域上恒等于1时,则任意λ所对应的截集均为整个论域,因此任意λ对应的截集可靠度均相等,与λ无关,可记为R′。由(3)式可知,此时叶片抗共振模糊可靠度R=R′。而R′为固有频率在论域上服从概率密度gfn(fn)的常规可靠度模型,因而此时,模糊可靠度模型退化为常规可靠度模型。可见,常规可靠性模型是模糊可靠性模型的特例,是隶属函数在论域上恒为1时的模糊模型，而模糊模型则是常规模型的补充和延伸。

4 叶片抗共振模糊可靠度模型计算

利用上述模型进行可靠性评估时,需要在截集内引入概率分布。目前常用的截集分布主要有均匀分布和线性分布[6-7]。其函数形式如下所示:

1) 均匀分布:

(4)

2) 线性分布:

(5)

4.1 模糊可靠度R的数值计算方法

利用(3)式直接计算可靠度时涉及多重积分,其解析表达式难以获得。因此,采用数值方法计算R。由于R=Eλ[Rλ],根据数理统计理论,可用样本均值作为期望的估计。因此在[0,1]上随机产生一组服从均匀分布的阈值λi(i=1,2,…,Nλ),对给定的λi计算其对应的截集可靠度Rλi,则抗共振模糊可靠度R可用截集可靠度的样本均值来近似,即:

4.2 截集可靠度Rλ的计算

1) 引入均匀分布时,由(1)式和(4)式可得:

同理类似可得R2λ,进而可计算Rλ=R1λ+R2λ。

2) 引入线性分布时,由(1)式和(5)式通过推导(限于篇幅,推导过程略)可得:

同理类似可得R2λ,进而可计算Rλ=R1λ+R2λ。

5 仿真算例

5.1 确定隶属函数的例子

由于加工、装配精度的影响,凸肩叶片的周向接触紧度通常落在设计值的某一公差带内,同时又受到凸肩相对榫齿位置偏移等多种因素的干扰,偶有过紧(过松)的状态出现。利用MATLAB软件模拟上述过程,得到某凸肩风扇叶片模型的一组接触紧度;根据文献[8]接触紧度与接触压力的关系式,计算出对应的凸肩接触面压力;再利用文献[5]凸肩不同接触面压力与一弯频率的仿真和试验数据,拟合出凸肩接触面压力与一弯频率之间函数关系,通过其计算出该叶片的一弯频率,如表1所示。

表1 某凸肩叶片一弯频率值

经性质检验发现，需对L(fn)进行非负截断改写。改写后的隶属函数如下：

(6)

5.2 模糊方法算例

一般要求较低阶振型共振裕度必须大于10%[9],因此本例中不妨取a=20。工作中当表1所示叶片受到服从随机分布fe～N(230,10)的激振力时,使用本文模糊方法评估可得:该凸肩叶片抗一弯共振可靠度为0.989 1(均匀分布)或0.989 3(线性分布)。

图1给出了模糊估计随一弯频率中值估计值的变化曲线。图2～图4给出了模糊估计随各拟合参数的变化曲线。

图1 模糊估计随的变化曲线 图2 模糊估计随q1的变化曲线 图3 模糊估计随q2的变化曲线

图4 模糊估计随拟合参数u的变化曲线

5.3 常规可靠性方法和模糊可靠性方法的比较

图5和图6分别给出了常规方法和模糊方法随激振频率均值和标准差的变化规律。由图5可以看出,当激振频率的均值小于130 Hz左右时,模糊方法的估计值始终小于常规方法的估计值;而当激振频率的均值大于130 Hz左右时,无论使用何种方法,该凸肩叶片抗一弯共振可靠度均已低于97.5%,工程中还需考虑避开其他阶共振,总可靠度将更低,已不满足工程上可靠度的要求。也就是说,在工程可接受的可靠度范围内,模糊方法估计值小于常规方法估计值。

图5 估计结果随激振频率均值的变化曲线

同时,图6亦表明模糊方法的估计值小于常规方法的估计值。此外,由图5和图6可得:引入均匀分布时的模糊估计结果始终小于引入线性分布时的模糊估计结果。

图6 估计结果随激振频率标准差的变化曲线

6 结 论

本文分析了带阻尼结构(如凸肩)叶片的固有频率的模糊性,提出了确定固有频率模糊隶属函数的一种统计分析方法。同时利用截集理论建立了基于固有频率模糊性的凸肩叶片抗共振模糊可靠度模型,并对模型进行了计算。通过分析指出常规模型是模糊模型的特例,模糊方法是当系统具有模糊性时,对常规方法的补充,为处理模糊现象提供了一种途径。最后通过算例表明:本文所提模糊方法对叶片固有频率中值估计值及隶属函数拟合参数具有较好的稳定性,其估计结果略小于常规方法估计结果。

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